konvergenz

20.11.2009, 21:50

Moritz87

konvergenz

hallo

,
Und zwar soll ich folgendes beweisen:
Falls $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ an = oo so folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{an} \end{eqnarray*}$ = 0
Analog soll gelten, falls $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ an = 0 so folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{an} \end{eqnarray*}$ = oo.
Leider hab' ich keinen Schimmer wie man das am Besten formal zeigen könnte? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
moritz

21.11.2009, 01:53

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RE: konvergenz
Schreib dir doch einmal auf, was du beweisen sollst. Also, wie lautet die Definition von Konvergenz? Was musst du also nachweisen? (Stichwort: Epsilon-Definition von Konvergenz)

Das sollte dir ein Kriterium geben für die Folgenglieder a_n. Und dann schaust du dir mal (in die Definition übersetzt) an, was denn deine Voraussetzung ist.

Gruß
MI

21.11.2009, 19:16

Moritz87

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Erstmal vielen Dank für deine Antwort smile

Also:
Es muss gelten zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ N $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IN so dass gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} |(1/a_n)-0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ <->
$\begin{eqnarray*} |(1/a_n)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ Da nun $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ an -> 00 gilt für $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ n>N stets $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ = 0

Ist das auch inhaltlich und formal richtig? verwirrt

moritz

21.11.2009, 23:21

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Okay, du hast gesagt:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 ~~ \exists N\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \forall n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{a_n}\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$
Das ist ja zu zeigen.

Ich wollte aber eher wissen, was du denn von der Voraussetzung hast. Wie ist denn bestimmte Divergenz definiert?

Also noch mal:
Du sagst also: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Jetzt musst du das N finden. Deine Voraussetzung sagt dir was?

Gruß
MI

22.11.2009, 10:55

Moritz87

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Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ an ---> oo meine Voraussetzung ist, weiß ich dass ein N $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IN existiert so dass $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ n>N: an>M wobei M $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR. Also wird an stets größer und somit (1/an) für n-->oo stets kleiner. Aber das reicht ja wohl nicht aus Big Laugh

Sorry aber ich versteh' nicht ganz wie ich ein N finden kann ab dem das gilt

22.11.2009, 11:04

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Zitat:

Original von Moritz87
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ an ---> oo meine Voraussetzung ist, weiß ich dass ein N $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IN existiert so dass $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ n>N: an>M wobei M $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR.

Genau das ist alles, was du brauchst.
Jetzt sagst du: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} M\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{M}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ Die Existenz eines solchen M folgt direkt aus dem Satz des Archimedes
So, und was gilt jetzt für $\begin{eqnarray*} |1/a_n| \end{eqnarray*}$ mit dieser Wahl von M?

Gruß
MI

22.11.2009, 16:49

Moritz87

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Vielen Dank für deine Antwort Augenzwinkern

Also da ab dem gewissen Index N für alle n>N gilt, dass an>M folgt dass für n>N an>(1/epsilon) und somit (1/an) <epsilon für n>N. Und damit endet der Beweis oder?
moritz

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