Unendlich viele Zahlen, also unendlich viele Primzahlen

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phistoh Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele Zahlen, also unendlich viele Primzahlen
Hallo. Ich habe keine Ahnung, ob der Thread hier oder wo anders besser aufgehoben wäre, aber hier finde ich ihn dann doch am passendsten:

Ich habe letztens mal mit einem Kumpel über Primzahlen geredet und er antwortete ganz intuitiv auf die Frage, warum es unendlich viele gibt, dass es unendliche viele Natürliche Zahlen gibt also dementsprechend auch unendlich viele Primzahlen geben müsse.
Ich wollte ihm eigentlich anhand eines Beispiels vor Augen führen, dass man das nicht so naiv beweisen kann, allerdings ist mir kein passendes Gegenbeispiel eingefallen.
Klar könnte man ein Beispiel wie "Es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen, aber die Menge aller Natürlichen Zahlen <10 ist endlich" konstruieren, aber das ist doch irgendwie etwas künstlich.

Also einfache Frage: Wie kann man jemandem erklären, dass man aus der Unendlichkeit der Menge der Natürlichen Zahlen nicht schließen kann, dass es unendlich viele Primzahlen gibt? (Also, gibt es ein (einfaches) Beispiel irgendeiner endlichen Teilmenge einer unendlichen Menge, die so groß ist, dass man naiver weise annehmen könnte, dass die Teilmenge nicht endlich sei?)

(Boah, ein bisschen kompliziert, aber ich hoffe, dass jemand versteht was ich meine. Big Laugh )
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Vielleicht kann man den Schluss am besten „widerlegen“, indem man zeigt, dass er gar nicht unbedingt intuitiv einleuchtet: Es wäre doch ebenso plausibel zu sagen, dass es bei größer werdenden Zahlen immer mehr potentielle Teiler gibt und deswegen die Verteilung der Primzahlen immer dünner wird und irgendwann gar keine mehr existieren.

Sonst gibt es ja gerade beim Thema Unendlichkeit noch viele andere Beispiele dafür, dass Intuition alleine einfach nicht funktioniert: Eine Kurve kann immer und immer flacher werden und dennoch jede Zahl überschreiten (wie der Graph der ln-Funktion); analog: die Summe der Zahlen 1/1, 1/2, 1/3, ... wird beliebig groß, obwohl die einzelnen Summanden immer kleiner werden; die „Anzahl“ aller Brüche ist so groß wie die aller natürlichen Zahlen, obwohl die natürlichen Zahlen auf der Zahlengeraden nur einzelne Punkte bilden, die Brüche dagegen eine „fast“ durchgehende Linie.

Also man muss wahrscheinlich nicht unbedingt die Beweiskeule rausholen, um den Schluss als etwas voreilig zu entlarven...
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Schluss ist so absurd, dass es sich vermutlich gar nicht lohnt, sich damit näher auseinanderzusetzen...

Trotzdem hier ein m.E. besonders hübsches Beispiel... Es gab lange Zeit die Vermutung, dass sich verschiedene "perfekte Potenzen" von natürlichen Zahlen, das sind Potenzen mit natürlichen Zahlen a,b>1, nicht zu "nahe" kommen können, genauer, dass sie immer eine "Distanz" >1 aufweisen mit Ausnahme von 8 und 9... Diese sog. CatalanscheVermutung wurde 2002 auch dann tatsächlich bewiesen...
addor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlich viele Zahlen, also unendlich viele Primzahlen
In meinen Vorlesungen über Grundlagen der Mathematik zeige ich jeweils, dass die Abstände zwischen den Primzahlen dem Trend nach immer grösser werden, indem ich die Reihe der Primzahlen betrachte. Wie Jacques richtig sagte, dünnen die Primzahlen aus. Dann rätsle ich, ob diese Reihe vielleicht einmal ganz abbrechen könnte und frage in die Runde, wer der Meinung sei, dass die Reihe der Primzahlen einmal versiegen könnte. Es melden sich immer zwei oder drei. Das zeigt, dass es Menschen gibt, die sich vorstellen können, dass die Menge der Primzahlen endlich ist. Schon nur deshalb ist die Behauptung, es gebe unendlich viele Primzahlen, sauber zu beweisen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlich viele Zahlen, also unendlich viele Primzahlen
Womit sich die Frage stellt, wie beweist man die Unendlichkeit der Primzahlmenge "sauber"? Nun, da gibt es ja den Beweis von Euklid, der immer noch einer der einfachsten ist, wenngleich schon sehr "ausgelutscht"...

Der in meinen Augen schönste geht so: Wäre endlich, so gäbe es dann auch nur endlich viele quadratfreie natürliche Zahlen , d.h., Produkte von verschiedenen Primzahlen... Nun läßt sich aber offensichtlich jede natürliche Zahl n>0 als Produkt einer quadratfreien Zahl und einer Quadratzahl darstellen (tatsächlich sogar eindeutig, was aber hier nicht gebraucht wird)... Will man nun für eine positive ganze Zahl n alle ganzen Zahlen in dem Intervall [1,n] so darstellen, so hat man aber höchstens Quadratzahlen und gar nur endlich viele quadratfreie Zahlen zur Verfügung, was sich also für genügend großes n dann sicher nie ausgehen kann...
phistoh Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch... jetzt habe ich ja mal ein paar Beispiele dafür, dass man nicht immer auf seine Intuition vertrauen kann. Wird wohl bei weiteren Diskussionen hilfreich sein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest ihm auch sagen, dass man auch aus endlich vielen Primzahlen unendlich viele Zahlen erzeugen kann. Sogar nur aus der 2 kann man ja mit unendlich viele Zahlen erzeugen.

Im "Buch der Beweise" stehen übrigens 6 Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen, außer dem vom Euklid allerdings nicht die Elementarsten. Der von Mystic ist übrigens nicht dabei, obwohl der auch sehr schön und elementar ist.
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