Bild und Kern einer linearen Abbildung

21.11.2009, 10:56

desperate

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Bild und Kern einer linearen Abbildung

Hallo Leute,

ich mach jetzt seid ein paar Wochen LinA und komm jetzt schon überhaupt nicht mehr klar... Im Moment versuch ich grad mich durch einige Aufgaben vom Bild und Kern einer Abbildung zu kämpfen... Hab mir auch schon alle Threads über dieses Thema durchgelesen, aber irgendwie bin ich trotzdem nicht schlauer als vorher...

Ich habe also eine 3x4 Matrix gegeben und soll nun erstmal die Dimension von Bild und Kern ausrechnen.

Tja, es heißt ja Dim des Bildes = Dim der Matrix - Dim des Kerns ...
aber was ist denn die Dimension der Matrix??

Ich hab angefangen mit der Umstellung auf die NZSF, leider auch nicht sicher, aber was mach ich denn als nächstes?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich werd nämlich grad wahnsinnig...

21.11.2009, 11:25

lgrizu

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RE: Bild und Kern einer linearen Abbildung
die dimension des kerns ist die dimension des lösungsraums Ax=0.
die dimension des bildes ist nach dimensionssatz dann auch einfach zu ermitteln, denn es ist für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} V\to W \end{eqnarray*}$ :dim kern+dim bild= dim V

21.11.2009, 11:30

Mazze

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Zitat:

aber was ist denn die Dimension der Matrix??

Das fragst Du genau das richtige. Einer Matrix wird keine Dimension zugeordnet. Man spricht zwar oft davon, aber formal definiert wird die Dimension für Vektorräume. Überlege dir folgendes :

Betrachte die Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Bild ist

$\begin{eqnarray*} Im(A) = \{y \in \mathbb{R}^3 : \exists y \in \mathbb{R}^4 ~ Ax = y \} \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns das mal für einen Vektor x genau an :

$\begin{eqnarray*} Ax = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} a_4 \\ b_4 \\ c_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Bild lässt sich also als Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix darstellen. Mit anderen Worten, das Bild ist die lineare Hülle der Spaltenvektoren und damit ein Vektorraum. Die Dimension des Bildes ist dann die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, sprich Du musst die maximale Anzahl unabhängiger Spaltenvektoren der Matrix A bestimmen. Das ist höchstens 4.

21.11.2009, 11:47

LLCoolDave

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Zitat:

Original von Mazze
Das Bild ist

$\begin{eqnarray*} Im(A) = \{y \in \mathbb{R}^3 : \exists x \in \mathbb{R}^4 ~ Ax = y \} \end{eqnarray*}$

Da war ein kleiner Tippfehler der für Verwirrung sorgen könnte.

Was an so einer Stelle hilft, ist sich noch einmal klar zu machen, mit was für Objekten man eigentlich arbeitet. Ist dir denn klar in wiefern eine Matrix eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen beschreibt?

Das Bild deiner Abbildung sind die jenigen Vektoren im Zielvektorraum, die sich irgendwie mit deiner Abbildung erreichen lassen. Wie Mazze bereits erklärt hat, handelt es sich dabei um einen Untervektorraum, der von den Spaltenvektoren deiner Matrix erzeugt wird.

Der Kern der Abbildung sind diejenigen Vektoren aus dem Ursprungs-Vektorraum, die auf den 0-Vektor im Zielvektorraum abgebildet werden. Sie werden also anschaulich von deiner Abbildung "verschluckt". Auch der Kern bildet einen Untervektorraum, aber diesmal vom Ursprungsvektorraum, denn die Linearkombination zweier Vektoren im Kern liegt wieder im Kern. (Überleg dir nochmal, warum das so ist)

Diese beiden Konzepte sind für die Lineare Algebra wichtig, also frag ruhig nach wenn du etwas davon nicht verstehst. In der Regel ist die Berechnung des Kerns einer konkret gegebenen Abbildung leicht, indem du sie auf Zeilenstufenform bringst.

21.11.2009, 11:48

desperate

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Oje, also ich habe das LGS

-1 +3 +2 -1 = 0
-1 +3 +3 -2 = 0
+1 - 1= 0

oder wenn ich das gleich mit der NSZF mach hab ich

1 -3 +0 -1 = 0
1 -1 = 0
0 = 0

(...)

21.11.2009, 11:54

desperate

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nein, mir ist das leider überhaupt nicht klar, die Abbildung geht ja sozusagen von Spalte nach Zeile, also von R4 nach R3... Ich seh da überhaupt keinen Zusammenhang und ich kanns mir auch nicht vorstellen wie das aussehen soll. traurig

traurig

also nach den lgs die ich gepostet hab müsste ja die Dimension des Kerns 2 sein, da zwei nichtkopfvariablen, sowas hatte ich in einem anderen forum gelesen...

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21.11.2009, 12:03

desperate

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ok, ich hab jetzt ausgerechnet, dass ich mit allen Vektoren der Form

3s + t
s
-t
t

mit s, t Element R

meine Matrix "erreiche", das müsste ja dann quasi die Lösungsmenge von A sein.

21.11.2009, 12:13

desperate

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RE: Bild und Kern einer linearen Abbildung
ok, der Kern meiner Matrix, sind alle Vektoren, die multipliziert mit A -äh- die 0-Matrix ergeben, richtig?
Also suche ich einen Vektor, der ja nur aus dem R3 sein kann...
Also ist die Dimension meines Kerns 3??

21.11.2009, 12:15

lgrizu

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RE: Bild und Kern einer linearen Abbildung
wenn du EINEN vektor als basis hast, wie kann dann der von ihm erzeugte raum die dimension 3 haben?

21.11.2009, 12:24

desperate1

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RE: Bild und Kern einer linearen Abbildung
naja, wenn ich einen Vektor mit drei Komponenten habe, dann ist er doch dreidimensional oder nicht?
Aber wenn ich eine Basis brauche ... dann brauch ich ja für jedes x einen vektor, wo alles außer dem einen x 0 ist, richtig?

ich weiß gar nicht wie ich mich hier ausdrücken soll... komm mir total verblödet vor

21.11.2009, 12:29

lgrizu

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RE: Bild und Kern einer linearen Abbildung
der vektor kann dreidimensional sein, klar, aber spannt er auch einen dreidimensionalen raum auf?
wohl eher weniger.....

21.11.2009, 12:32

desperate1

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aber ich hab doch drei achsen oder? also dreidimensional, .......

aber zum aufspannen brauch ich wohl die einheitsmatrix... aber die gibts doch nur bei quadratischen matrizen oder?

21.11.2009, 12:35

desperate1

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hab ich denn eigentlich oben irgendwas falsch eingegeben? also ich meine die nzsf
und die Lösungsmenge?

21.11.2009, 12:38

lgrizu

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der vektor ist dreidimensional, aber ein vektor spannt maximal eine gerade auf, welche dimension hat eine gerade?
erst mal zum wesentliche, du hast oben in deinem LGS nur irgendwelche zahlen stehen, die x_i sind nich angegeben, hol das mal nach, dann kann ich dir sagen, ob das richtig ist oder nicht.

21.11.2009, 12:51

desperate1

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\begin{vmatrix} -x_1 & 3x_2 & 2x_3 & -x_4 \\ -x_1 & 3x_2 & 3x_3 & -2x_4 \\ 0x_1 & 0x_2 & x_3 & -x_4 \end{vmatrix}

das ist meine Matrix

in NZSF sieht das dann so aus:

\begin{vmatrix} x_1 & -3x_2 & 0x_3 & -x_4 \\ 0x_1 & 0x_2 & x_3 & -x_4 \\ 0x_1 & 0x_2 & 0x_3 & ox_4 \end{vmatrix}

21.11.2009, 12:56

desperate1

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x_1 & 3x_2 & 2x_3 & -x_4 \\ -x_1 & 3x_2 & 3x_3 & -2x_4 \\ 0x_1 & 0x_2 & x_3 & -x_4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 & -3x_2 & 0x_3 & -x_4 \\ 0x_1 & 0x_2 & x_3 & -x_4 \\ 0x_1 & 0x_2 & 0x_3 & ox_4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

tut mir leid

21.11.2009, 13:02

lgrizu

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wenn ich die matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 3 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
auf zeilenstufenform bringe bekomme ich die matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also ist deine lösung falsch.
wie sieht denn der lösungsraum jetzt aus?

21.11.2009, 13:09

desperate1

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ok, dann hätte ich

3s
s mit s Element R
0
0

?

21.11.2009, 13:13

lgrizu

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deine antworten sind unvollständig was ist 3s?

21.11.2009, 13:13

desperate1

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aber wie kommst du denn auf diese ZSF?

du hast doch die zweite Zeile minus die erste gerechnet, da hab ich dann aber
0 0 1 -1 und nicht 0 0 -1 -3 ??

21.11.2009, 13:18

desperate1

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naja, wenn ich alles gleich null setze bekomme ich für x_3 und x_4 = 0 raus. Eingesetzt in die erste Zeile, die ich nach x_1 umstelle unter Berücksuchtigung, dass x_2 = s ist (da Nicht-Kopfvariable) bekomme ich x_1 = 3s
falsch? Erstaunt2

Erstaunt2

21.11.2009, 13:21

lgrizu

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zuerst erste zeile - zweite zeile und danach die neu entstandene zweite zeile + die dritte zeile.....
ist richtig, x_3=x_4=0, x_2=s, x_103s, wie sieht der lösungsraum aus?

21.11.2009, 13:27

desperate1

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ich dachte das ist der Lösungsraum... also

3s
s
0
0

also das soll einen Vektor darstellen...
die Komponenten stellen x_1 bis x_4 dar...

21.11.2009, 13:38

desperate1

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man muss das wahrscheinlich anders aufschreiben, ich meine damit:

$\begin{eqnarray*} \left\{[latex] \end{eqnarray*}$ \begin{pmatrix} 3s \\ s \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $\begin{eqnarray*} / s Element R \right\} \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 13:42

lgrizu

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der lösungsraum ist also eine gerade, nämlich die gerade s*(3,1,0,0), welche dimension hat eine gerade?

21.11.2009, 13:44

desperate1

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naja, dim = 1 oder?
aber das würde ja bedeuten, dass die Dimension von der Lösungsmenge immer 1 ist, oder? Ich bekomme mit diesem Verfahren doch immer EINEN Vektor raus, oder?

21.11.2009, 13:46

lgrizu

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bei der matrix ja, bei anderen matrizen eventuell nicht, kann ja auch sein, dass die drei zeilenvektoren linear abhängig sind, dann ist der lösungsraum eine Ebene.
wie sieht jetzt eine basis des lösungsraumes aus?

21.11.2009, 13:52

desperate1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hoffe man kann das jetzt sehen ... das müsste eine Basis des Lösundsraumes sein... richtig?

21.11.2009, 13:57

lgrizu

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wieso ist hat eine basis eines 1 dimensionalen raumes zwei basisvektoren?

21.11.2009, 14:02

desperate1

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ok, ich hab jeweils die letzte 0 vergessen... sind ja 4 zeilen

aber zu deiner Frage:
es muss doch zwei basisvektoren geben, denn sonst wären die Komponenten ja voneinander abhängig ... also bei der darstellung
oder etwa nicht?
ich hab irgendwie das gefühl dass ich keine Ahnung hab was ich eigentlich machen soll, oder was ich da überhaupt mache... das soll doch jetzt die Basis der Matrix sein oder? Also die Menge von vektoren, die den Raum der Matrix aufspannen? oder ?

21.11.2009, 14:15

lgrizu

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nein, wir haben den lösungsraum von Ax=0 bestimmt, um eine dimension des kerns der linearen abbildung zu bekommen, die von deiner matrix beschrieben wird.....
die matrix selber beschreibt eine lineare abbildung, die hat keine Dimension.
das Bild der abbildung hat eine und der kern der abbildung und die sollst du nach aufgabenstellung doch bestimmen.
schau auch noch mal auf den beitrag von Mazze;
hast du kein script oder nen lehrbuch? im allgemeinen wird sowas doch während der vorlesung geklärt....
wir haben jetzt erst mal den kern bestimmt, nach definition für eine abbildung f ist der kern von f die menge aller lösungen mit f(x)=0.
dafür findet man dann eine basis und dann die dimension heraus.
und kann ein vektor wirklich linear abhängig sein?

21.11.2009, 14:24

desperate1

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doch, ich hab ein script, nur leider verstehe ich nur bahnhof... in der vorlesung versteh ich demnach auch so gut wie nix, im tutorium kommt mir alles ganz logisch vor, aber wenn ich dann zu hause sitze und mir alles angucke und versuche aufgaben zu lösen, dann steh ich wieder aufm schlauch...

also jetzt haben wir den kern, der kern ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3s \\ s \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das bedeutet, lambda mal dem kern mal der matrix entspricht dem nullvektor, richtig?

wir haben ja zwei einträge im Kern (3s und s) bedeutet das, dass wir hier die dimension 2 haben?

21.11.2009, 14:32

desperate1

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es kommt wirklich ein nullvektor raus, ich war nicht ganz sicher, ich habe ja einen Vektor mit 4 Zeilen und einer Spalte und eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten, raus bekomme ich einen Nullvektor mit 3 Zeilen, schon irgendwie komisch. Wie rum darf ich die Multiplikation denn offiziell durchführen? Matrix mal Vektor oder Vektor mal Matrix?

21.11.2009, 14:32

lgrizu

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nein, der lösungsraum ist, ich sage es jetzt das dritte mal,
$\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was ist das für ein gebilde? welche dimension hat es?

21.11.2009, 14:33

lgrizu

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matrix mal vektor,
$\begin{eqnarray*} A* \vec x=0 \end{eqnarray*}$
edit: gesucht ist der vektor x, und der hat 4 einträge....,.

21.11.2009, 14:35

desperate1

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es beschreibt eine gerade, ist also eindimensional

tut mir echt leid, ich bin ein bisschen blöd

21.11.2009, 14:37

lgrizu

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richtig, dimension eins. jetzt den dimensionssatz anwenden um die dimension von im f herauszufinden...

21.11.2009, 14:49

desperate1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =

Spalte mal Zeile? Dann bekomme ich nicht den Nullvektor, sondern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeile mal Spalte?? Dann siehts so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

scheiße, was mach ich denn nur? traurig

traurig

21.11.2009, 14:53

desperate1

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ok, die Dimension des Bildes müsste dann 3 sein, weil "die Dimension der matrix" 4 ist und die des Kerns 1
also 4-1 = 3

21.11.2009, 15:06

lgrizu

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die antwort 3 ist richtig aber die begründung harkt etwas;
die dimension der matrix, hmmm, welche, "zeilen- oder spaltendimension"? oder hast du einfach die grössere von beiden genommen?
deine matrix beschreibt eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} V \to W \end{eqnarray*}$ , nach dimensionssatz ist dim kern f+dim im f=dim V, was ist V, was ist W?

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