Geometrische Reihe: Sn+1 = 1+q+q²+...+q^n + q^(n+1) = Sn * q + 1

21.11.2009, 12:22	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
*Geometrische Reihe: Sn+1 = 1+q+q²+...+q^n + q^(n+1) = Sn q + 1** Hallo ... Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich leider nicht recht zurecht komme... Ich soll beweisen, dass bei einer geometrischen Reihe den Nachfolger des Folgenglieds auf zwei Arten errechnen kann, also das Sn+1 = 1+q+q²+...+q^n + q^(n+1) = Sn * q + 1 Habe gedacht, dass ich das ganze mit der vollständigen Induktion machen kann... komme da aber leider nicht weiter -.- Hier mein Ansatz: Induktionsanfang: n = 0 wegen q^0 S(0+1) = 1 + q^1 = S0 * q^1 +1 = 1 * q^1 + 1 (wahr) Induktionsschritt: wenn die aussage A(k) gilt, dann gilt auch die Aussage A(k+1) Zu zeigen: 1+q+q²+...+ q^(k+1) + q^(k+2) = Sk+1 *q + 1 Weiter komm ich leider nicht.. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.. Lg Max
21.11.2009, 12:56	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Geometrische Reihe: Sn+1 = 1+q+q²+...+q^n + q^(n+1) = Sn q + 1** Wie wäre es mit Ausklammern? Da brauchst du dann im Grunde noch nicht einmal vollständige Induktion...
21.11.2009, 13:12	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nur mit Ausklammern? Was kann ich denn da ausklammern?
21.11.2009, 13:21	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann anders: Schreib einmal auf, was die rechte Seite ist, als $\begin{eqnarray} S_{n}\cdot q +1 \end{eqnarray}$ . Fällt dir was auf?
21.11.2009, 13:26	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sn + q + 1 das ist ne rekursive darstellung der folge würd ich sagen.. da man ja den Vorgänger mit in der Fomel hat. . Aber mehr fällt mir da nicht auf...
21.11.2009, 13:27	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
einsetzen für S_n
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21.11.2009, 13:30	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ergebnisse gehen auf den Grenzwert 5 zu ...wenn man sn einsetzt..
21.11.2009, 13:35	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid ich steh aufm schlauch ..
21.11.2009, 13:38	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich keine Ahnung habe, was du machst, hier einfach mal die Lösung von dem, was ich meinte: Es ist definiert: $\begin{eqnarray} S_n:=1+q+\ldots + q^n \end{eqnarray}$ Nun gilt: $\begin{eqnarray} 1+q\cdot S_n=1+q\cdot (1+q+\ldots+q^n)=1+q+q^2+\ldots + q^{n+1}=S_{n+1} \end{eqnarray}$ letzteres nach Definition. Da ich nur die Definitionen der Glieder eingesetzt habe, halte ich es für unnötig hier eine vollständige Induktion durchzuführen. Anderenfalls wäre das natürlich der Induktionsschritt. Gruß MI
21.11.2009, 13:43	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
oh .. ja das ist natürlich logisch .. das hab ich nicht gesehen... ok dann versuch ich es mal so weiter... dankeschön ...
21.11.2009, 13:51	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte. Jeder von uns steht ja mal auf dem Schlauch .

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