Ableitung von Exponentialfunktion

21.11.2009, 13:27

martinexe

Ableitung von Exponentialfunktion

Hey!

Ich habe grade Probleme mit der Ableitung einer Funktion:

f(x)=2*3^(x-1)

Man muss dafür doch die Produktregel anwenden, oder?

Blicke da noch nicht so ganz durch...

Danke für eure Hilfe!

Gruß
MadDin

21.11.2009, 13:30

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RE: Ableitung von Exponentialfunktion
Du meinst die Kettenregel, oder??? Beachte, dass du die Funktion vorher umschreiben musst, also:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2\cdot 3^{x-1}=2\cdot e^{\ln (3^{x-1})}=2\cdot e^{(x-1)\cdot \ln 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln 3 \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, Produktregel ist also nicht unbedingt nötig. Du solltest wie gesagt mit der Kettenregel arbeiten.

21.11.2009, 13:39

Onkel Emma

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RE: Ableitung von Exponentialfunktion
kann man es auch so versuchen?: (stehe selber vor dem problem^^)

$\begin{eqnarray*} \frac {2*3^{x}}{3} \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac {3^{x}}{3} \end{eqnarray*}$
und hiermit weiter rechnen?

ist für mich etwas einfacher da $\begin{eqnarray*} e^{3^{x}} \end{eqnarray*}$ folgen müsste

21.11.2009, 13:41

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RE: Ableitung von Exponentialfunktion

Zitat:

Original von Onkel Emma
kann man es auch so versuchen?:

$\begin{eqnarray*} \frac {2*3^{x}}{3} \end{eqnarray*}$

Bis dahin wäre es richtig, und ja, das würde dann auch gehen. Aber auch da müsstest du vorher umschreiben.

Denke in diesem Zusammenhang auch nochmal kurz darüber nach, warum deine Umformung falsch ist.

21.11.2009, 14:34

martinexe

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$\begin{eqnarray*} f(x)=2\cdot 3^{x-1}=2\cdot e^{\ln (3^{x-1})}=e^{(x-1)\cdot \ln 3} \end{eqnarray*}$

ist das schon die Lösung für die Ableitung?

Nur nochmal zum Verständnis,
die 2 als Faktor davor fällt weg, weil ich noch den Kehrwert der Abletung von (x-1) davor schreibe, richtig? Also wär das dann 1/2.

Die Kettenregel ist doch u´*v´ , die innere Funktion ist in dem Fall (x-1) und was ist die äußere Funktion?

Nochmal danke! =)

21.11.2009, 14:37

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Oh je, nein. Die 2 darf nicht wegfallen, ich habe sie einfach unter den Tisch fallen lassen Augenzwinkern

Ich habe es oben geändert.

Nein, das ist noch nicht die Ableitung. Du musst die Funktion vorher etwas umschreiben, um ableiten zu können.

Du musst jetzt auf den letzten Ausdruck (der jetzt richtig ist) die Kettenregel anwenden.

Vielleicht nochmal am Beispiel der e-Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{g(x)}~\Rightarrow~f'(x)=g'(x)\cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

gemäß Kettenregel.

21.11.2009, 14:48

martinexe

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ok^^

mal schauen ob ich das jetzt richtig habe^^

ich habe folgendes raus:

f´(x)= 2* ln3* e^((x-1)ln3)

dahingekommen bin ich indem ich die innere Ableitung(exponent) mal die äußere genommen habe. Bei einer e Funktion bleibt die äußere Ableitung ja immer gleich.

Stimmt das soweit?^^

ps. ich weis nicht wie man diese coolen Formeln schreibt Big Laugh

21.11.2009, 14:50

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Gut, das ist soweit richtig. Wir können es wieder etwas umschreiben, in dem du den letzten Faktor wieder in der ursprünglichen Form schreibst. Dann bist du fertig.

21.11.2009, 14:54

martinexe

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cool =)

danke für deine Hilfe!

Ich werde mir nochmal nen paar Aufgaben angucken.

Grüße
martin

21.11.2009, 22:16

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Alles klar, gerne geschehen Wink

Stellen wir der Vollständigkeit halber noch das vereinfachte Ergebnis rein:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\ln 3 \cdot 3^{x-1} \end{eqnarray*}$

Grüße,
VR

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