Zyklische Gruppen |
21.11.2009, 14:42 | St. Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zyklische Gruppen ich lese grad im Algebra I Skript und bin gerade bei den zyklischen (Unter-)Gruppen angelangt. So, dann habe ich folgende Definition: "Eine Gruppe G heißt zyklisch genau dann, wenn ein Element existiert, so dass . In diesem Fall sagt man, dass g die zyklische Gruppe G erzeugt." So, für mich bedeutet das, dass es quasi ein Elemet z.B. 2 gibt, welches eine Gruppe bestehend aus deren Potenzen erzeugt, also Dann kommt etwas später ein Beispiel: "Die von der Zahl 2 in erzeugte zyklische Untergruppe von enthält alle geraden Zahlen und wir bezeichnen diese Untergruppe mit " Aber warum ist das so? Es sind doch ncht alle geraden Zahlen in der Potenz von 2 vorhanden... |
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21.11.2009, 15:22 | Seren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das bedeutet nur, dass du jede gerade Zahl als Linearkombination der Potenzen von 2 schreiben kannst. z.b. |
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21.11.2009, 15:34 | St. Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, also wäre z.B. , dann muss man doch mehr oder weniger nicht die Potenzen betrachten, sondern eher die Vielfachheit des Elements g, oder? Woran sehe ich eigtl, ob eine Gruppe zyklisch ist? |
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21.11.2009, 15:41 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Verwirrung kommt hier zu Stande, da die Gruppenoperation im allgemeinen, abstrakten in der Regel als Multiplikation geschrieben wird, während die Gruppenoperation, die bei Z betrachtet wird die Addition ist. Folglich entspricht das abstrakte hier . |
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21.11.2009, 15:45 | Seren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Also deine Basis für diese Gruppe ist . Diese bildet ein Erzeugendensystem, mit dem du jedes Element aus erzeugen kannst. Also hast du für folgende Darstellung: .
Wenn es ein solches Element gibt, dass die gesamte Gruppe erzeugt. Anders gesagt: wenn du eine Basis aus Potenzen des erzeugenden Elementen findest, die als Linearkombination alle Elemente deiner Gruppe erzeugen. |
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21.11.2009, 15:53 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, St.Peter hat schon recht, . Beachte dass eine additive Gruppe ist, mit der Multiplikation aber keine Gruppe bildet (was ist denn z.B. das multiplikative Inverse zu 2 in } Ausserdem würde ich mit Begriffen wie Basis im Zusammenhang mit Gruppen aufpassen. |
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21.11.2009, 15:56 | St. Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber habe ich richtig gebildet, ja? |
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21.11.2009, 15:59 | St. Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das multiplikative Inverse zu 2 müsste 0,5 sein, denn 2*0,5=1 und 1 ist neutrales Element bzgl. Multiplikation, aber 0,5 ist nicht in Z enthalten. |
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21.11.2009, 16:00 | MasterOfTheNumbers | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Gruppe G heißt zyklisch genau dann, wenn ein Element existiert, so dass gilt bei multiplikativer Schreibweise, bzw bei additiver Schreibweise. Da nur eine Gruppe bezüglich der Addition ist, macht hier auch nur die additive Schreibweise Sinn, also müssen die Vielfachen betrachtet werden. Übrigens: Viele Bücher benutzen die additive Schreibweie nur bei kommutativen Gruppen.
Wenn es ein Element gibt, dessen Ordnung der Gruppenordnung entspricht. Dies ist z.B. bei allen Gruppen mit Primzahlordnung der Fall (Überleg mal warum...) |
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21.11.2009, 16:04 | Seren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh ja, ihr habt recht .. |
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21.11.2009, 16:16 | St. Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, betrachten wir . Diese Menge hat die Ordnung 7. Wähle ich nun: [3], dann gilt: Also quasi das neutrale Element! Somit gilt: ord [3]=7=|| Aber wenn ich ehrlich bin, weiss ich net, warum es gerade für Primzahlen gilt >.< |
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