Parseval-Gleichung

21.11.2009, 15:46

sprungfeld

Parseval-Gleichung

Moin,

habe folgende Formel zu beweisen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k^4}=\frac{\pi ^4}{90} \end{eqnarray*}$ .

Dabei soll ich die Parseval-Gleichung für die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb R,\text{ } f(x)=x\left(\pi-x\right) \end{eqnarray*}$ verwenden und darf auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ gebrauchen.

Mein erster Schritt ist dann, $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ zu berechnen:
k=0 ist klar, dann ist $\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$ . Also nun für $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ :
Ich habe das jetzt extra ausführlich gemacht, nicht dass da ein Fehler bei einer Stammform ist, den ich bisher einfach nicht gefunden habe... Habe das über partielle Integration gemacht, wobei die e-Funktion immer als " $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ " gewählt wurde:

$\begin{eqnarray*} c_k=\frac{1}{2\pi}\cdot\int_{0}^{2\pi}~(x\pi-x^2)e^{-ikx}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \\ = \frac{1}{2\pi}\cdot\left(\left[(x\pi-x^2)\cdot\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{ik}\int_{0}^{2\pi}~(\pi-2x)e^{-ikx}~dx \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi}\left(\left((2\pi^2-4\pi^2)\cdot\frac{1}{-ik} - 0\right) + \frac{1}{ik}\left(\left[(\pi -2x)\cdot\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{0}^{2\pi}-\frac{2}{ik}\int_{0}^{2\pi}~e^{-ikx}~dx \right)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2\pi^2}{ik}+\frac{1}{ik}\cdot\left(\left((\pi-4\pi)\cdot\frac{1}{-ik}-(\pi-0)\cdot\frac{1}{-ik}\right)-\frac{2}{ik}\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]\right)\right)=...=\frac{\pi}{ik}-\frac{2}{k^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ in dieser Form wie hier bestimme, komme ich auf dasselbe Ergebnis.

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \left|c_k\right|^2 = \frac{4}{k^4}+\frac{\pi^2}{k^2} \end{eqnarray*}$ .
Außerdem ergibt sich bei mir $\begin{eqnarray*} \Vert f\Vert=\frac{8}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$

Mit der Parseval-Gleichung gilt dann also: $\begin{eqnarray*} \sum_{k\in\mathbb Z}~\left|c_k\right|^2=\frac{8}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} \left|c_k\right|^2 = \left|c_{-k}\right|^2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 2\cdot\sum_{k\in\mathbb N}~\left|c_k\right|^2=\frac{8}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$ , was ich jetzt weiter umformen kann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k\in\mathbb N}~\left|c_k\right|^2=\frac{4}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k\in\mathbb N}~\left(\frac{4}{k^4}+\frac{\pi^2}{k^2}\right) = \frac{4}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k\in\mathbb N}~\frac{4}{k^4} +\underbrace{\sum_{k\in\mathbb N}~\frac{\pi^2}{k^2}}_{=\frac{\pi^4}{6}} = \frac{4}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k\in\mathbb N}~\frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{40} \end{eqnarray*}$

Das ist ja offensichtlich nicht das, was rauskommen soll, aber ich habe das jetzt schon 3x durchgerechnet - einmal eben auch mit $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ - aber komme immer auf dieses Ergebnis.
Daher nun meine Frage, wo hier der Fehler liegt?

22.11.2009, 13:51

Abakus

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RE: Parseval-Gleichung
Hallo!

Zitat:

Original von sprungfeld
Mein erster Schritt ist dann, $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ zu berechnen:
k=0 ist klar, dann ist $\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$ . Also nun für $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$

Kommt da wirklich 0 raus?

Grüße Abakus smile

22.11.2009, 15:14

sprungfeld

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Ach Mensch, was hab ich denn da wieder gemacht... Hab wohl $\begin{eqnarray*} e^0=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt...

Also, $\begin{eqnarray*} c_0=\frac{1}{2\pi}\cdot\int_0^{2\pi}~x\pi-x^2~dx=\frac{1}{2\pi}\cdot\left[\frac{x^2}{2}\pi-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi}=-\frac{1}{3}\pi^4 \end{eqnarray*}$

Damit folgt dann: $\begin{eqnarray*} |c_0|^2=\frac{1}{9}\pi^4 \end{eqnarray*}$ , was dann wie oben schon weitergeht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k\in \mathbb Z}~|c_k|^2=\frac{1}{9}\pi^4+2\cdot\sum_{k\in\mathbb N}~\left(\frac{4}{k^4}+\frac{\pi^2}{k^2}\right)=\frac{8}{15}\pi^4 \end{eqnarray*}$

Analog zu oben umgeformt kommt dann das gewünschte raus.

Danke Abakus! Freude

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