Mathematiker und Hüte

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LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematiker und Hüte
Hoffe dieses Rätsel wurde nicht schon einmal gepostet, meine Suche hat zumindest nichts ergeben.

Einige Mathematiker sind im Staatsgefängnis von Fantasien gelandet. (Sie haben einige ungewöhnliche Rechnungen im Finanzministerium entdeckt) Da Mathematiker deutlich angenehmere Gefangene sind als die restlichen Verbrecher in Fantasien wird dem Wärter in ihrem Zellenblock (welcher gleichzeitig auch die Aufsicht über die königliche Hutsammlung führt) bald langweilig. Er erfindet ein Spiel mit dem er etwas Spannung in den Alltag bringen will:

Er führt zwei Mathematiker in einen abgelegenen Raum und erklärt ihnen die Regeln: "Ich habe hier rote und blaue Hüte. Ich werde euch gleich einen Hut aufsetzen, so dass ihr die Farbe eures eigenen Hutes nicht sehen könnt. Anschließend werde ich euch nach etwas Bedenkzeit nach der Farbe eures Hutes fragen. Rät mindestens einer von euch richtig, so kommt ihr beide frei. Liegt ihr jedoch beide falsch, so werdet ihr Morgen hingerichtet. Nachdem ich euch die Hüte aufgesetzt habe, dürft ihr nicht mehr miteinander kommunizieren, ihr dürft euch aber vorher absprechen."

Der Wärter spielt das Spielchen einige Male, muss jedoch feststellen, dass er alle Paare stets freilassen muss.

a) Welche Strategie können die Mathematiker verwenden, um ihre Freilassung sicherzustellen?

Der Wärter entschließt sich dazu, die Schwierigkeit für die Mathematiker zu erhöhen. Er führt nun n Mathematiker in den Raum und verwendet n verschiedene Hutfarben, die er den Mathematikern vorher mitteilt. Wieder werden alle freigelassen, sofern mindestens ein Mathematiker seine Hutfarbe richtig errät. Dabei kann ein Mathematiker die Hüte aller anderen erkennen.

b) Mit welcher Strategie können die Mathematiker auch in dieser Variante sicher entkommen?

Nachdem auch diese Variante nicht ausreicht, um die Mathematiker zu überlisten, denkt er sich schließlich eine letzte Verbesserung aus: Zunächst führt er alle Mathematiker in den Raum. Auf Grund der Instabilen Wirtschaftslage sind mittlerweile (nicht notwendigerweiße abzählbar) unendlich viele Mathematiker im Gefängnis gelandet. Der Wärter wählt anschließend die Hüte aus einem Vorrat mit (nicht notwendigerweiße abzählbar) unendlich vielen verschiedenen Farben, welche den Mathematikern bekannt sind. Dabei steht die Kardinalität der Farbmenge in keinem Zusammenhang zur Kardinalität der Mathematiker-Menge. Jeder Mathematiker kann die Farbe der Hüte aller anderen Mathematiker erkennen und die Gefangenen werden freigelassen, sofern nur endlich viele von ihnen falsch raten.

c) Können die Mathematiker auch in diesem Szenario entkommen? Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht?

Es gelten die üblichen Bedingungen für Rätsel dieser Art: Es gibt keine Spiegelnden Oberflächen im Raum, in denen man seinen eigenen Hut erkennen könne und keine Kommunikation heißt auch wirklich kein Informationsaustausch. Die einzige Information, die die Mathematiker nach der Strategieabsprache erhalten, ist die Farbe der anderen Hüte.

Und wie immer gilt: Wer das Rätsel (bzw die Lösung) bereits kennt, soll sich bitte erst einmal zurückhalten.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Überabzählbar viele Mathematiker ROFL
 
 
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mathematiker und Hüte
a) Der erste Mathmatiker sagt: Wenn du einen blauen Hut aufhast, dann behaupte ich, dass ich einen blauen Hut aufhabe. Analoges, wenn du einen roten Hut aufhast.

Der zweite Mathematiker behauptet dann er habe einen Hut mit der Farbe, von der der erste Mathematiker behauptet hat, ein Hut habe diese Farbe und liegt damit richtig (Solange der erste Mathematiker nicht farbenblind ist)


b) Jeder Mathematiker behauptet sein Hut hätte die Farbe seines rechten Nachbarn. Der ganz rechts behauptet er habe die Farbe des Mathematikers ganz links. Dadurch liegt immer mindestens einer richtig.


c) Wenn der Wärter die Strategie mithört, so kann er entsprechend handeln und dafür sorgen, dass mindestens unendlich viele Mathematiker falsch liegen. Da ein Mathematiker ja nur einen Hut verraten kann und bei entsprechendem Verhalten des Wärters maximal 50% der Mathematiker richtig liegen können.



Würd ich mal so behaupten Augenzwinkern
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, da fällt mir auf, das ich einen wesentlichen Satz nicht gebracht habe, die Mathematiker müssen alle gleichzeitig raten. Werde ich gleich verbessern. (Edit: Das geht ja hier gar nicht, also schreibe ich den Satz sicherheitshalber mal größer damit jeder es mitbekommt.)

Damit funktioniert die Strategie a) prinzipiel schon nicht. Gegen deine Strategie b) habe ich ein Gegenbeispiel: n=3, Hüte Rot, Blau, Grün. Der Rote rät Blau, der Blaue rät Grün und der Grüne Rot oder Blau, bin mir nicht sicher wie deine Aussage gemeint ist. In jedem Fall liegen alle falsch.

Zu c) sage ich mal nur, dass das so nicht stimmt.
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre bei a.) aber auch möglich, dass beide einen roten Hut aufhaben, ja?
Eigentlich logisch, weil es sonst viel zu einfach ist, aber das wird im Text nicht so ganz deutlich..
howdy Auf diesen Beitrag antworten »

-erstmal zurückhalten- smile
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Den Gefangenen ist nur bekannt, welche Hutfarben prinzipiel zur Auswahl stehen. Über die Verteilung ist nichts gesagt. Es können alle eine unterschiedliche Farbe oder alle die selbe Farbe haben (zumindest im endlichen Fall, im unendlichen kommt es auf dei Kardinalitäten an).
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Antwort b) basierte eigentlich ebenfalls auf der Annahme, dass sie der Reihe nach die Antwort geben und damit mindestens einer schon seine Hutfarbe kennt, bevor er antworten muss und dann natürlich die richtige Antwort gibt.


Aber wenn alle gleichzeitig antworten müssen, dann hab ich ne blöde Frage:

Ist wircklich keinerlei Kommunikation möglich ... auch nicht einen Schritt vor oder sonstetwas möglich?
Wenn nein, was soll dann eine Absprache bringen?

Kurz bevor der Wärter ihnen den Hut aufzieht, die Farbe rauszubrüllen ist auchnicht drinn, oder?
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann brauchst du für deine Lösung in b) aber auch nur zwei Mathematiker, was das ganze etwas Witzlos machen würde.

Keine Kommunikation ist hier wirklich ernst gemeint. Die einzige Information, die die Mathematiker erhalten, nachdem die Hüte verteilt wurden (was ohne Einschränkung instantan passiert, da auch beim aufsetzen keine Information ausgetauscht werden darf), ist die Farbe des Hutes, den jeder andere Mathematiker trägt.

Man könnte ja Strategien absprechen wie "Wenn Mathematiker #1 und #2 einen roten Hut tragen, so rät #3 blau, wenn #1 blau und #2 grün trägt, rät #3 grün ..." Die Frage ist nur, wie man im endlichen Fall so eine Strategie geschickt konzipiert und ob man auch im unendlichen Fall eine Strategie zur Verfügung hat.
InSaNo Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)
Einer der Mathematiker sagt immer die Farbe die der Hut des anderen Mathematikers NICHT hat,
der andere Mathematiker sagt immer DIE GLEICHE Farbe wie sein Gegenüber.
somit sind alle Fälle gedeckt, sowohl die, wenn die die gleiche Farbe haben, als auch die, wenn sie unterschiedliche Farben haben, und es gibt ja keine anderen Fälle.
Richtig?
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von InSaNo
zu a)
Einer der Mathematiker sagt immer die Farbe die der Hut des anderen Mathematikers NICHT hat,
der andere Mathematiker sagt immer DIE GLEICHE Farbe wie sein Gegenüber.
somit sind alle Fälle gedeckt, sowohl die, wenn die die gleiche Farbe haben, als auch die, wenn sie unterschiedliche Farben haben, und es gibt ja keine anderen Fälle.
Richtig?

Das sieht gut aus.

Für b.) habe ich aber immer noch keinen Ansatz. Mit "Farben die andere Hüte nicht haben", kann man bei n Farben ja schlecht rechnen.
sdfsd Auf diesen Beitrag antworten »

keine lösung im sinne des erstellers Augenzwinkern

augen zu und hüte tauschen.
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung von InSaNo zu a) ist korrekt.

Für b) gebe ich mal den Tipp, die Hutfarben mit natürlichen Zahlen zu identifizieren.
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LLCoolDave
Die Lösung von InSaNo zu a) ist korrekt.

Für b) gebe ich mal den Tipp, die Hutfarben mit natürlichen Zahlen zu identifizieren.

Alles klar

Jede Farbe bekommt eine Zahl zwischen 1 und n. Ebenso jeder Mathematiker. Dann addiert Mathematiker k alle Farben (bzw. deren Zahläquivalente) der Hüte die er sieht und rät die Farbe die sein Hut hätte, wenn die Summe aller Farben (seinen eingeschlossen) k (mod n) ergeben würde. Genauer gesagt: (k - Summe aller Hutfarben) (mod n).

Dann rät Mathematiker 1 richtig, wenn die Summe aller Farben 1 (mod n) ist, Mathematiker 2, wenn die Summe 2 (mod n) ist, usw. Einer muss also richtig raten.

Hoffe ich habe jetzt nichts mehr durcheinandergebracht. Big Laugh
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist genau die Lösung, die ich gesucht habe.

Bleibt als letztes noch der unendliche Fall, der eigentlich interessante Teil des Rätsels.
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich habe die/eine Lösung, da ich aber nicht alleine gearbeitet habe, sondern ein paar Kollegen zu Rat gezogen habe, werde ich mich erstmal zurückhalten. Eine Frage nur. Spielt das Auswahlaxiom eine Rolle? Augenzwinkern
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist zumindest keine Strategie bekannt, bei der ohne Auswahlaxiom auch nur ein Mathematiker garantiert richtig rät.
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Dann ist das die Lösung wahrscheinlich richtig. Naja ich warte mal. Augenzwinkern
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