Summenwert konvergente Folge

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21.11.2009, 17:41	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenwert konvergente Folge Hey... Ich benötige dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe.... Sn = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... + (-1/2)^n Bei der Reihe ist - 1/2 der konstante Faktor So nun zur Aufgabe: Die geometrische Reihe lässt sich wie ein aufgezogener Reißverschluss in zwei geometrische Reihen mit nur positiven und nur negativen Folgengliedern aufteilen. Bestimmen sie mithilfe der beiden Teilreihen durch Anwendung der Grenzwertsätze den Summenwert ... Hier mein (kleiner) Anfang: Sn1 = 1 + 1/4 + 1/16 + ... + (1/2)^n (Für alle Positiven Folgenglieder) Sn2 = - 1/2 + (- 1/8) + ... + (- 1/2)^n (Mit nur ungeraden n) .... und jetzt weiß ich nicht mehr weiter Ich hoffe ihr könnt mir helfen... Hab vielleicht gedacht dann jetzt von beiden (Sn1 und Sn2) den Grenzwert zu nehmen und dann einen Grenzwertsatz anzunehmen aber ich weiß nicht wie ichs machen soll und ob es überhaupt geht... Lg Max
21.11.2009, 17:48	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieviel Vorkenntnis hast du denn von Reihen? Weil es wirklich schöne Sätze gibt, mit denen es einfacher gehen würde. Sagt dir das Leibnitz Kriterium etwas? Ansonsten würde ich sagen, dass du dir die Summen aufschreibst und jeweils den Grenzwert bestimmst. Arbeite mit dieser Identität: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x\| \end{eqnarray}$ kleiner 1.
21.11.2009, 17:58	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey ... Ja das mit der Identität haben wir schon gemacht aber sonst nichts sehr viel.. Das andere kenn ich auch nicht.. Ja den Grenzwert von Sn1 hab ich aber von Sn2 da hab ich mit probleme... Und wenn ich die beiden Grenzwerte habe was kann ich dann machen?
21.11.2009, 18:01	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bekommst du denn als Grenzwerte raus? Musst du zeigen, dass die Reihe konvergiert, oder auch explizit den Grenzwert angeben?
21.11.2009, 18:10	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Sn1 hab ich raus: Grenzwert 2 Und für Sn2 Grenzwert 2/3 wie bei der Normalen es auch wäre wenn die nicht auseinandergenommen ist... Ja und was genau ich machen muss seh ich irgendwie aus der aufgabe nicht richtig aus.. soll den summenwert mithilfe der grenzwertsätze herausfinden...
21.11.2009, 18:23	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich führe mal aus: $\begin{eqnarray} S:=\sum_{n=0}^\infty (\frac{-1}{2})^n \end{eqnarray}$ ist deine Ursprungsreihe. Diese teilst du auf in $\begin{eqnarray} S_1:=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_2:=\sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{2})^{2n+1} \end{eqnarray}$ Und nun bestimmst du von $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ einzeln den Grenzwert. Sei $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_2 \end{eqnarray}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ . So ist $\begin{eqnarray} S=S_1+S_2 \end{eqnarray}$ . Die Grenzwerte sind auch additiv, d.h. $\begin{eqnarray} s=s_1+s_2 \end{eqnarray}$ und damit hättest du den Grenzwert deiner Reihe durch das Aufteilen in 2 Reihen gefunden.
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21.11.2009, 18:33	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn auf die hoch 2n und hoch 2n+1 ? lg Max
21.11.2009, 18:34	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ist das damit man gerade oder ungerade exponenten bekommt?
21.11.2009, 19:30	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
genau. Und ist was Neues bei rumgekommen?
21.11.2009, 19:42	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetzt den Grenzwert 2/3 raus ... Bin mir nicht sicher aber Ich glaub ich bin fertig .. dankeschön
21.11.2009, 19:52	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
doch nicht so klar ... Was kommt bei den einzelnen Grenzwerten hin? irgendwie hab ich da n totales durcheinander
21.11.2009, 20:07	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du denn die einzelnen Grenzwerte berechnet?
21.11.2009, 20:10	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das einfach 1/2 und -1/2 in die formel eingesetzt: also 1/ 1-x für den grenzwert.. aber das kann ich ja nicht machen hier ...
21.11.2009, 20:14	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
das passt so nicht, da du ja nicht $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^{n} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2n} \end{eqnarray}$ hast .. du musst noch gescheit umformen, damit du die Identität nutzen kannst.
21.11.2009, 20:20	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
mir fällt nichts ein die aufgabe ist blöde xD das einzige was mir einfallen würde wäre wurzel ziehen .. aber da steht dann wieder 1/2 ^n .. und bei s2 weiß ich garnicht wie ichs umformen könnte
21.11.2009, 20:22	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze bei $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ die Potenzgesetze aus: Wie lässt sich $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2})^{2n+1} \end{eqnarray}$ gescheit umformen?
21.11.2009, 20:25	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
mh.. - 1/ 2 ^(n+1)+(n+1)
21.11.2009, 20:26	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn das wäre im Exponenten (n+1)+(n+1)=2n+2
21.11.2009, 20:28	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
-.- ich verzweifel hier ..
21.11.2009, 20:28	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
- 1/2 ^n + n +1
21.11.2009, 20:32	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
So kommst du nicht weiter. Wie bist du auf $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ gekommen? Das Ergebnis ist nämlich richtig, aber nur mit dem richtigen Lösungsweg gibts die Punkte
21.11.2009, 20:34	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin drauf gekommen in dem ich einfach in diese Formel da die - 1/2 eingesetzt habe ... aber man muss das ja mit den zwei reihen machen .. -.-
21.11.2009, 20:41	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich gebe dir mal noch einen Tipp, und rechne sogar den Grenzwert für eine Teilreihe aus $\begin{eqnarray} S_1:=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2n}=\sum_{n=0}^\infty ((\frac{1}{2})^{n})^2=\frac{1}{1-(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ So, und nun liegt es an dir den zweiten Teil auszurechnen, die Ergebnisse zu summieren, und schon hast du den Grenzwert für $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$
21.11.2009, 20:43	Maxxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
joa ich werds mal versuchen ... vielleicht komm ich ja irgendwann drauf ... Vielen Dank auf jeden fall für deine Hilfe lg Max
22.11.2009, 10:41	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenwert einer speziellen geometrischen Reihe Welcher Aushilfspädagoge hat sich denn den Mist mit dem Reißverschluss ausgedacht? Mit solchem Quark wird - wie sich hier einmal mehr offenbart - erfolgreich zur Verwirrung beigetragen. Zur Erläuterung: Es ist sicher richtig, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \left( -\frac 12 \right)^n=\sum_{n=0}^\infty \left( -\frac 12\right)^{2n}+\sum_{n=0}^\infty \left( -\frac 12\right)^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \left( \frac 14\right)^n- \frac 12 \cdot \sum_{n=0}^\infty \left( \frac 14\right)^n=\frac 12 \sum_{n=0}^\infty \left( \frac 14 \right)^n= \frac 12 \cdot \frac 1{1-\frac 14}=\frac 23. \end{eqnarray}$ Aber was spricht denn dagegen direkt die geom. Summenformel zu bemühen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \left( -\frac 12 \right)^n=\frac 1{1-\left(-\frac 12\right)}=\frac 23~? \end{eqnarray}$

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