Ist die Vereinigung zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum?

21.11.2009, 17:45

Cr1s

Ist die Vereinigung zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum?

Es seien U und W Untervektorräume des reellen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ . Sind dann $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$ auch
Untervektorräume von V?

$\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$ hab ich schon, wie siehts mit $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ aus? Wenn ich mir den $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ vorstelle gibt es keine möglichkeit aus 2 "linien" einen "Körper" zu machen, aber wie sieht das im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ aus? Wenn U und W Untervektorräume von V sind, müssen sie weniger Dimensionen als V haben oder Teilmenge von V sein... aber irgendwie kann ich das nicht Mathematisch formulieren unglücklich

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Gruß, Gualtiero

21.11.2009, 17:52

LLCoolDave

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Betrachte doch mal zwei Elemente $\begin{eqnarray*} u \in U: u \not\in W \text{ und } w \in W: w\not\in U \end{eqnarray*}$ , vielleicht fällt dir dann etwas ein.

21.11.2009, 17:56

Cr1s

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$\begin{eqnarray*} u \in U: u \not\in W \text{ und } w \in W: w\not\in U \end{eqnarray*}$
[latex]u+w \not\in U \cup W \if U \is W [latex]

21.11.2009, 17:59

Cr1s

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Was ich sagen wollte, es gibt ein Element w+v das nicht in w, nicht in v und auch nicht in der Vereinigung liegt. Aber es kann doch trotzdem in dem Vektorraum liegen, von dem W und V Untervektorräume sind...oder hab ich das ganz falsche verstanden?

21.11.2009, 18:02

Cel

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Such doch einfach zwei UVR U und W im R^2, deren Vereinigung kein UVR ist. Das ist nicht schwer ...

21.11.2009, 18:04

LLCoolDave

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Das kann nicht nur in V liegen, das wird es sicherlich auch. Aber du willst ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ kein Vektorraum ist. Wenn nun aber $\begin{eqnarray*} w+u \not\in U \cup W \end{eqnarray*}$ , was kannst du dann aussagen? Schließlich stellt sich noch die Frage, wann du w und u überhaupt so wählen kannst, und was gilt wenn du diese nicht so wählen kannst.

21.11.2009, 18:06

Cr1s

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Wenn ich U=[x,0] x element R und W=[0,y] y element R nehme gibt es z.B. [1,0]+[0,1]=[1,1] der nicht in U und W liegt.
Ich verstehe nur nicht, warum die Vereinigung von diesen zwei UVRs kein UVR von R² sein soll.

21.11.2009, 18:11

Cr1s

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Oder kann ich einfach sagen die Vereinigung von U und W ist überhaupt kein Vektorraum...das wär ja n bisschen peinlich... das wär nur der Fall wenn U ein UVR von W ist oder anders rum

21.11.2009, 18:25

LLCoolDave

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Zitat:

Original von Cr1s
Oder kann ich einfach sagen die Vereinigung von U und W ist überhaupt kein Vektorraum...das wär ja n bisschen peinlich... das wär nur der Fall wenn U ein UVR von W ist oder anders rum

Das ist beides genau richtig.

21.11.2009, 18:35

Cr1s

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Danke, dann bin nich sehr erleichtert. Könntest du mir vielleicht noch erklären, wie die Vereinigung von 2 Vektorräumen definiert ist? Ich finde in unserem Skript nichts dazu. Hätte jetzt gedacht die Vereinigung von 2 Vektorräumen ist der VR, den sie aufspannen (z.B. die Ebene zwischen x und y Achse im R²)...da ist wohl noch einiges an Arbeit Augenzwinkern

21.11.2009, 18:37

LLCoolDave

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Die Vereinigung zweier Vektorräume ist als Vereinigung der Mengen zu lesen. Das Konzept das du meinst ist die Summe der beiden Vektorräume, welche bereits nach Konstruktion stets wieder einen Vektorraum ergibt.

21.11.2009, 18:38

Cr1s

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Alles klar, vielen dank + schönen Abend

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