Basis, Dimension |
21.11.2009, 18:50 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Basis, Dimension Ich sitze schon jetzt eine ganze Weile an folgender Aufgabe: Es seien a=(1,0,2), b=(2,0,1),c=(0,2,0), d=(2,2,2) Elemente der Vekorräume und . Es seien U=Span(a,b) und W=Span(c,d) Unterräume von , i=1,2. a) Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterräume U,W,U+W, von V, indem Sie jeweils eine Basis angeben. b) Wählen Sie aus den Vektoren a,b,c und d jeweils eine Basis , i=1,2 des Vektorraums aus und geben Sie die Koordinatendarstellung eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis an. Zu a) Für beide Vekorräume habe ich bereits U,W und U+W bestimmt also: : U hat Dimension 1, Basis ist b W hat Dimension 2, Basis ist c,d U+W hat Dimension 3, Basis ist b,c,d : U hat Dimension 2, Basis ist a,b W hat Dimension 2, Basis ist c,d U+W hat Dimension 4, Basis ist a,b,c,d Ist das richtig? Bei habe ich meine Schwierigkeiten. Ich weiß das ich bei b mit c,d gleichsetzen und gucken muss für welche skalare dies gilt. Hier würde ich aber keine Skalare finden, oder? also wäre hier leer oder, also ist die Dimension 0??? bei muss ich a,b mit c,d gleichsetzen und gucken für welche Skalare dies gilt. Aber hier habe ich Probleme. bei b) Ich weiß nicht, wie ich eine Basis wählen soll. LG estrella28 |
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21.11.2009, 18:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Dimensionssatz sollte hier weiterhelfen. |
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21.11.2009, 19:00 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den hatten wir noch nicht in der Vorlesung!! Ich glaube den dürfen wir dann auch nicht benutzen! Aber rein theoretisch hieße das ja bei beiden, dass die Dimension 0 ist. Das heißt, da ich ja den Satz noch nicht hatte, kann ich ja einfach sagen, dass das Gleichungssystem keine Lösung hatte, weswegen leer ist, also Dimension 0, oder??? |
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21.11.2009, 19:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
kann als UVR eines 3-dimensionalen VR höchstens 3-dimensional sein. |
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21.11.2009, 19:05 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
gut, aber ich finde keine Lösung, sodass a,b,c,d linear abhängig |
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21.11.2009, 19:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, kann sein, ist aber trotzdem ohne weitere Rechnung richtig. 4 Vektoren können nicht l.u. sein. Zu Aufgabe b) würde ich jeweils 3 linear unabhängige Vektoren auswählen, die sind eine Basis. |
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21.11.2009, 19:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vorsicht mit den Durchschnitten. Ich bin noch nicht ganz sicher, ob sie die Dimension 0 haben. Wie hast du die Dimension der Summenräume bestimmt ? (Hoffentlich nicht so: , das wäre falsch, wie der Dimensionssatz zeigt.) |
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21.11.2009, 19:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe in gerechnet und die folgende Linearkombination gefunden: |
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22.11.2009, 11:07 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Ich habe jetzt in Für U+W habe ich, dass die Vektoren b,c,d l.u. sind, sodass sie eine Basis bilden und somit hat U+w die Dimension 3. Für habe ich folgende Gleichung: Diese hat keine Lösung, daher gibt es keinen Vektor, der sowohl in U als auch in W enthalten ist. Daher ist der Schnitt leer, und die Dimension ist 0. Für : Für U+W sind Vektoren a,b,c l.u., sodass sie eine Basis bilden und somit hat U+W die Dimension 3. Für habe ich folgende Gleichung: Ich finde keine Lösung für diese Gleichung, aber nach diesem Dimensionsatz, den wir noch nicht hatten und bestimmt nicht benutzen dürfen, hätte die Dimension 1, also muss die Gleichung eine Lösunge haben. Da bräuchte ich unbedingt noch hilfe!! |
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22.11.2009, 15:37 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann mir denn da keiner helfen? Ich habe hin und her überlegt, mir fehlt nur noch dieses , dann hätte ich die Aufgabe komplett Außerdem wäre es auch schön zu wissen, ob meine Berechnungen oben richtig sind. |
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22.11.2009, 17:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für die Vektorräume gilt (Dimensionssatz). Direkte Berechnung des Durchschnitts könnte so aussehen: . Also ist Das lineare Gleichungssystem hat in die Lösungen , dafür ist nun , also (ohne den Dimensionssatz zu benutzen). |
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22.11.2009, 17:34 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber ich habe bei herausgefunden, dass U=Span(b) ist, daher reicht doch da: oder? Das hat aber keine Lösung. Ich habe nur ein Problem bei , da ich wie gesagt obige gleichung nicht lösen kann. |
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22.11.2009, 17:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt. Die Rechnung hätte ich mir schenken können. Im Prinzip sollte das aber für genau so gehen. (Ich probier's mal.) HEUREKA, ich hab's. In ergibt sich als Lösung des LGS und damit ist . Das paßt auch zum Dimensionssatz . |
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23.11.2009, 17:22 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Super, vielen dank!!! Aber wie kommst du nun auf den Vektor??? |
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23.11.2009, 19:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
genau so wie ich es in gemacht habe, mache ich es auch in , d.h. ich löse das LGS (3 mal die 1. zu 3. Zeile addieren, dann 3. von 1. Zeile subtrahieren) ergibt , und daraus folgt . Wähle , dann ist ein passender Vektor. |
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23.11.2009, 20:29 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber müssen nicht alle koeffizienten identisch sein, warum ist der letzte dann 4 *alpha???? |
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23.11.2009, 20:37 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hat sich erledigt, ist ja klar, wir sind ja im Z5 körper Vielen Dank!!! |
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