Beweis einer Intervallschachtelung

21.11.2009, 19:45

Moritz87

Beweis einer Intervallschachtelung

Hallo

Ich hoffe ihr könnt bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen. Und zwar lautet diese:
Für a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR mit a,b>0 seien nun zwei rekursiv definierte Folgen $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} a_{o} \end{eqnarray*}$ = a und $\begin{eqnarray*} b_{o} \end{eqnarray*}$ = b und $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{an-1+bn-1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{an-1bn-1} \end{eqnarray*}$ . Nun muss ich beweisen dass $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ =[ $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ] eine Intervallschachtelung definiert. Achtung das n-1 ist die Indexmenge, die ich leider nicht als solche darstellen konnte. Vielleicht könnt ihr mir ja sagen wie das funktioniert Big Laugh

Also um zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ =[ $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ] eine Intervallschachtelung definiert muss ich zeigen dass
1) $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ ) = 0

Ich hab' nun versucht 1) zu zeigen jedoch stand am Schluss da ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ )/( $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n-1} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0

Aber wie kann ich das beweisen?

Gruß
sarah

21.11.2009, 20:03

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Zitat:

Original von Moritz87
Achtung das n-1 ist die Indexmenge, die ich leider nicht als solche darstellen konnte. Vielleicht könnt ihr mir ja sagen wie das funktioniert

So wie du es nur zwei Zeilen später dann doch geschafft hast:

Zitat:

Original von Moritz87
1) $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Oh Mann ... Finger1

Ach ja, zur Sache: 2) ist direkt AMGM. Und aus 2) folgt 1) in lediglich ein, zwei Schritten.

Und 3) kriegt man durch die einfache Abschätzung

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n-b_n \leq a_n-b_{n-1} = \frac{1}{2} (a_{n-1}-b_{n-1}) \end{eqnarray*}$ .

21.11.2009, 20:34

sarahjef.

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So jetzt hab' ich meinen eigenen Account.
Wie ich $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ alleine schreiben kann ist mir schon klar Augenzwinkern

Aber sobald ich das alles in einem Bruch oder sonstigem schreiben will klappt's iwie nicht mehr.
Glaubst du es reicht einfach hinzuschreiben dass geometrische Mittel stets kleiner oder gleich dem arithmetischen ist? Eigentlich wollte ich zwei dadurch zeigen indem ich beweise dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Aber leider klappt ja die Abschätzung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ nicht. Könntest du mir bei zwei vielleicht noch nen Tipp geben?
sarah

22.11.2009, 08:45

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Es gibt zig Beweise für AMGM, die meisten davon wirst du hier im Forum oder der Wikipedia oder sonstwo finden. Du brauchst ihn zudem nur für zwei Variable - streng dich mal an, wir sind hier im Hochschulbereich.

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