Abbildungsmatrix berechnen

21.11.2009, 23:20

hydendyden

Abbildungsmatrix berechnen

Hallo,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Berechnen Sie fur die R-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: R^3 \rightarrow R^3, (x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_1-x_2+x_3,12x_1-6x_2,-2x_1+2x_2-2x_3) \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} M^{C}_{B} \end{eqnarray*}$ , falls
a) B=C=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
b) B=C=((-1,0,1),(-1,2,1),(4,0,-2))

Also die a) macht mir keine Probleme (hoffentlich) ich gehe davon aus, dass es so stimmt:
$\begin{eqnarray*} M^{C}_{B}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 12 & -6 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt zu b).
Ich bin genauso vorgegangen, wie im Wikipediaartikel zur Abbildungsmatrix:
$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}=6\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-6\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\\ f\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -24 \\ 4 \end{pmatrix}=18\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-12\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\\ f\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 48 \\ -4 \end{pmatrix}=-30\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+24\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$
Demnach wäre meine Abbildungsmatrix:
$\begin{eqnarray*} M^{C}_{B}= \begin{pmatrix} 6 & 18 & -30 \\ -6 & -12 & 24 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt einen Basisvektor mit der Matrix multipliziere, müsste ich als Ergebnis ja eigentlich dessen Bild erhalten, was nicht der Fall ist.
Was mache ich falsch und wie macht man es richtig?

Gruß Matthias

22.11.2009, 09:33

kiste

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Ich hab nicht die gesamte Rechnung überprüft aber so wie es aussieht machst du nichts falsch.
Was du allerdings beachten musst ist:
Du multiplizierst jetzt nicht mehr die Matrix mit den Vektoren selbst, sondern mit den Koordinatenvektoren!
Der erste Basisvektor (-1,0,1) hat die Koordinaten (1,0,0). Das Bild bezüglich deiner Matrix ist also (6,-6,0). Dies sind gerade die Koordinaten des "wirklichen" Bildvektors.

22.11.2009, 11:48

hydendyden

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OK. Danke.

22.11.2009, 12:41

Matheversteher

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Mhh.... Auch ich sitze exakt an der selben aufgabe wie hydendyden. Leider ist mir das nicht so ganz klar wie das nun hier funktioniert. Auch nicht nach mehrmaligem lesen des Skriptes und der Wikipediaseite.

Wie schreibe ich denn (bei Teil b) die MAtrizen auf?

Sehen die einzelnl so aus

$\begin{eqnarray*} B=C=\begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder so

$\begin{eqnarray*} B=C=\begin{vmatrix} -1 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
? Also als Zeilen oder als Spalten

Und des weiteren verstehe ich nicht wie hydendyden auf das hier gekommen ist

Zitat:

Zitat von hydendyden $\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}=6\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-6\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\\ f\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -24 \\ 4 \end{pmatrix}=18\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-12\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\\ f\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 48 \\ -4 \end{pmatrix}=-30\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+24\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$

Für ein wenig Hilfe wäre ich sehr dankbar, auch wenn sie eigentlich schon gelöst worden ist. Ich blicke einfach nicht durch traurig

(P.S. Auf die Idee hydendyden anzusprechen bin ich auch schon gekommen, aber er hat im Moment keine Zeit)

22.11.2009, 13:06

hydendyden

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Ich habe einfach die Bilder der Basisvektoren berechnet und diese dann als Linearkombination der Basisvektoren dargestelllt.

22.11.2009, 17:16

Matheversteher

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Mhh leider hillft mir die Antwort nicht sehr viel weiter hydendyden... Denn wie berechne ich denn hier die Basisvektoren? Schreibe ich die Vektoren als Zeile oder als Spalte?

22.11.2009, 18:26

Matheversteher

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keiner da der mir helfen kann?

22.11.2009, 19:11

Matheversteher

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So also folgendes hab ich schonmal rausgefunden (eher zufällig) und zwar
wie ich auf

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ -24 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\ 48 \\ -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

komme.

Das was dann dahinter steh unten bei hydendyden ist nun zweifels ohne die linear kombination.
Aber wie stelle ich denn nun die linear kombination her (ja ist mir auch bekannt mit einer matrix). Ich meine eher wenn jetzt $\begin{eqnarray*} B \neq C \end{eqnarray*}$ ist. Denn im Moment ist es ja egal ob ich für die linear kombination B oder C wähle. Aber wie sähe es denn aus wenn es nicht so wäre. Nehme ich dann B oder C um den Bildvektor zu kombinieren?
Und kann mir dann auch evtl mal einer erklären wofür dieses " $\begin{eqnarray*} M^{C}_{B} \end{eqnarray*}$ ". It das eine Formel wie ich die Matrizen multipliziere oder was sagt mir das große C und B? Ich werde hier aus meinen Skript nicht so ganz schlau.

Da es den anschein hat, dass hydendyden nicht da ist, könnte da evtl mal einer so nett sein und mir dabei helfen?

23.11.2009, 12:46

Matheversteher

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Immer noch keiner hier? böse

23.11.2009, 13:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matheversteher
Aber wie stelle ich denn nun die linear kombination her (ja ist mir auch bekannt mit einer matrix). Ich meine eher wenn jetzt $\begin{eqnarray*} B \neq C \end{eqnarray*}$ ist. Denn im Moment ist es ja egal ob ich für die linear kombination B oder C wähle. Aber wie sähe es denn aus wenn es nicht so wäre. Nehme ich dann B oder C um den Bildvektor zu kombinieren?

Das Verfahren ist im Grunde einfach:
1. Nimm die Basisvektoren der Basis B und bilde von diesen die Bildvektoren mittels der Abbildung f.
2. Bestimme zu jedem Bildvektor die Linear-Darstellung in der Basis C des Bildraums.
3. Trage die einzelnen Koordinatenvektoren der Linear-Darstellung als Spalten in eine Matrix ein. Diese ist dann die Abblidungsmatrix $\begin{eqnarray*} M^{C}_{B} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Matheversteher
Immer noch keiner hier? böse

Das Problem ist folgendes: wenn man sich die Thread-Übersicht anschaut, dann ist hydendyden der Threadersteller. Du hast in diesem Thread geantwortet. Man erkennt aber nicht, daß du eine Frage hattest, sondern man nimmt an, daß du auf eine Frage geantwortet hast. So ist man nicht unbedingt geneigt, sich den Thread genauer anzusehen.

24.11.2009, 11:33

Matheversteher

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Ok klarsoweit Wink

Weis ich bescheid. Hab das auch alles soweit so gerechnet. Weis jetzt wie es funktioniert smile

DAs problem das letzte mal war nur, dass ebenfalls jemand das selbe Thema eröffnet (ca. 1 Std vor mir)hatte wie ich. Hatte dennoch einen neuen Thread aufgemacht weil ich etwas nicht verstand, mit dem ergebniss,dass ich aufgefordert wurde in dem anderen Thread doch mein problem zu erläutern, weil er ja erst kurz vorher eröffnet wurde. nun hab ich mich hier genauso verhalten und diesmal war es auch wieder falsch unglücklich

(Aber dann werde ich demnächst immer einen neuen Thread eröffnen, wenn ich ein problem habe)

Vielen Dank nochmal klarsoweit

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