Grenzwert einer Mischung (Kaffee - Milch)

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D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Mischung (Kaffee - Milch)
Guten Abend miteinander!

Ich hätte hier eine sehr anspruchsvolle Aufgabe, bei der ich völlig anstehe.
Sie lautet wie folgt:

Herr Müller möchte sich das viele Kaffeetrinken abgewöhnen. Dazu hat er folgende Strategie entwickelt: Er trinkt immer wieder eine feste Menge aus seiner Thermosflasche (1 Liter Volumen) und füllt diese mit Milch auf. Er hört auf, sobald die Kafeemenge in der Flasche einen halben Liter unterschritten hat.
Wieviel Liter Kaffee und wieviel Liter Milch hat Herr Müller dabei im Ganzen getrunken? Berechnen Sie die Grenzwerte für .
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,



ja die ist sehr interessant. Ich hoffe ich hab keinen Denkfehler hierbei, ansonsten möge man es mir in anbetracht der fortgeschrittenen Stunde verzeihen:
Es bietet sich an das mit einer Folge zu beschreiben. ist hoffentlich als fester Prozentsatz der Kanne gemeint. Er hat am Anfang die Menge (=Kaffee) in seiner Kanne. Er trinkt mal dem was drin ist und tut danach in Form von Milch (=m) hinein:





Zeige jetzt per Induktion, dass in der Tat


Damit sind Milch- und Kaffee-Mengen schon mal getrennt. Damit solltest eine Ungleichung aufstellen um das zu finden bei dem er aufhört. Das was er trinkt tritt natürlich in jeder Folge als der negative Term auf und muss summiert werden.


MfG
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Hey!

Ich danke dir vielvielmals!

Bis hier habe ich jeden Schritt verstanden und per Induktion auch gezeigt, dass gilt.

Das mit der Ungleichung kriege ich allerdings nicht wirklich hin: Wenn ich nämlich eine Ungleichung finden möchte, um das n zu finden, so stürz ich immer über das (n-1) des Summenzeichens..mein Rechner spuckt mir dabei etwas von ln's raus, jedoch keine wirklich brauchbare Ungleichung..
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


wenn ich das richtig verstanden hab taucht in der Ungleichung kein mehr auf. Du vergleichst die Kaffeemengen: Er hört auf sobald nur noch an Kaffee in der Kanne ist,



dabei hilft dir der Logarithmus. Gewöhn dir mal ab irgendwas in Computer einzugeben, das verwirrt mehr als es hilft...

edit:
Ich glaube was dich verwirrt hat war meine dusselige Notation. Der Summationsindex ist natürlich unabhängig von dem k welches die Kaffeemenge bezeichnet! Nenn ihn besser i oder so




MfG
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank für deine Hilfe!

Ach klar..ich hätte das k auch selber durch ein i ersetzen können, das war's nämlich eben auch, das mich verwirrt hat.

Also, das schlussendlich gesuchte ist ja das n.
Mit Hilfe des Logarithmus habe ich herausgefunden:



Wenn ich nun aber n "herausziehen" möchte, so bekäme ich:



Stimmt denn das?

Herzlichen Dank nochmals!
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


ja ich hab auch . Bis zu diesem ausgezeichneten wird jetzt die Menge summiert, die er trinkt.


MfG
 
 
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön smile

Genau, man summiert nun die Menge, die er trinkt - man macht also eigentlich noch den letzten Schritt.

Wie das mit der Summierung nun aber genau funktioniert, habe ich leider noch nicht rausgefunden...

Ich danke dir vielmals!
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


ich sagte doch man muss über das summieren, was man bei jedem Folgenglied abzieht. Wenn du meine Konstruktion verstanden hast siehst du das von selbst, also werd ich nichts weiter vorsagen =)


MfG
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Also, man zieht ja immer ein Lambda ab (hoch i oder hoch n) . Aber wie kann man denn das summieren, dass es am Schluss wieder stimmt?
Deine Idee sehe ich, und sie ist meiner Meinung nach auch richtig, aber wie man das macht, das sehe ich leider (nach doch ein paar Dutzend Versuchen) immernoch nicht..

Ich danke Dir für deine Geduld mit mir! smile
Thomas89 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wenn ich mich einmische, aber ist das Verhältnis nicht gleich 50:50. also trinkt er nicht einen halben Liter Kaffee, und einen halben Liter Milch?

Mfg
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


also die beschreiben den Zustand der Kaffee-Kanne. Bei jedem "Schritt" trinkt er von dem was drin war und tut das in Form von Milch hinein. Er trinkt also



Jetzt gilt es halt noch zu finden von wo bis wo du summierst. Die obere hast du schon gefunden:

wobei ceil die "Aufrundungsfunktion" ist (ceiling = Decke).

Überleg dir mal selbst von wo du jetzt anfangen musst zu summieren.

@Thomas89
Ich unterscheide zwischen "reasonable doubt" und "doubt". Solang du nur wild spekulierst und keine Gründe nennst kann ich deinen Einwand nicht ernst nehmen, vor allem da er sowohl meinem gesunden Menschenverstand als auch meiner Lösung widerspricht.


MfG
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas89
also trinkt er nicht einen halben Liter Kaffee, und einen halben Liter Milch?


Naja, ich sag mal so viel: Der halbe Liter Kaffee stimmt..aber er trinkt nicht einen halben Liter Milch! (...)

@ giles:
Herzlichen Dank für deine Unterstützung - ich konnte die Aufgabe doch noch lösen! :-)
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