Zahlen gesucht, Quersumme [war: schwer]

05.10.2006, 21:52

knobelei

Zahlen gesucht, Quersumme [war: schwer]

hi,

unser mathelehrer hat uns diese knobelaufgabe gegeben...ich hab aber echt keine ahnung wie ich anfangen soll, vll kann sich ja einer erbarmen und mir mal nen ansatz zeigen...

aufgabe: bestimmen sie alle dreistelligen zahlen, die 13- mal so groß wie ihre quersumme sind.

danke

05.10.2006, 22:15

riwe

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RE: schwer
wo ist der sinn? verwirrt

die kleinste von der dreien: 117.
werner

05.10.2006, 22:17

knobelei

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RE: schwer
ja , aber ich brauche irgend ne formel die mir alle dreistelligen zahlen mit dieser eigenschaft gibt...

05.10.2006, 22:50

penizillin

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jede 3-stellige zahl ( $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb N , 100 \leq a \leq 999 \end{eqnarray*}$ ) lässt sich in die summe der "hunderter", "zehner" und "einer" aufteilen,

z.b. ist $\begin{eqnarray*} 724 = 7*100 + 2*10 + 4*1 \end{eqnarray*}$

hier erkennt man schnell, dass die ziffern vorkommen, die die quersumme ausmachen (7+2+4 = 13).

allgemein gilt also $\begin{eqnarray*} a = 100*x + 10*y +1*z \end{eqnarray*}$ , wobei x, y und z die ziffern der zahl sind.

was ist nun die quersumme von a? genau wie im beispiel mit der 724 ist es die summe aus ihren ziffern, also: $\begin{eqnarray*} quersumme(a) = x+y+z \end{eqnarray*}$

welche gleichung kann man jetzt über a und quersumme(a) aufstellen?

06.10.2006, 03:59

JochenX

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Zitat:

bestimmen sie alle dreistelligen zahlen

erstmal logische Einschränkungen machen: Quersumme maximal 27 (von 999), also kann schon mal keine Zahl größer als 27*13=351 auftreten mit der Eigenschaft.
Dann tritt wiederum aber nur Maximalquersumme 20 auf (von 299), also keine Zahlen > als 260 ....

Es verbleiben weniger als 15 Zahlen (es müssen ja nur 13-Vielfache getestet werden), die kannste auch einfach durchtesten.

*Titel geändert*, bitte aussagekräftigere Titel wählen
(mir fällt auch nix grandioses ein, Aufruf an andere Mods, das besser zu ändern)

06.10.2006, 07:29

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Zitat:

Original von LOED
erstmal logische Einschränkungen machen: Quersumme maximal 27 (von 999), also kann schon mal keine Zahl größer als 27*13=351 auftreten mit der Eigenschaft.
Dann tritt wiederum aber nur Maximalquersumme 20 auf (von 299), also keine Zahlen > als 260 ....

Ähnlich, aber noch etwas schneller zum Ziel: Aus dem Ansatz $\begin{eqnarray*} 100a+10b+c=13(a+b+c) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 29a = b+4c \leq 45 \end{eqnarray*}$ , also bleibt bei echt dreistelligen Zahlen nur $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , und es muss dann $\begin{eqnarray*} 29 = b+4c \end{eqnarray*}$ gelten. Bleiben nur noch drei Möglichkeiten...

06.10.2006, 20:00

penizillin

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Arthur Dent: wunderbar, so geht es ja total schnell und elegant dazu!

06.10.2006, 20:48

Calvin

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Aus dem Ansatz $\begin{eqnarray*} 100a+10b+c=13(a+b+c) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 29a = b+4c \leq 45 \end{eqnarray*}$

Ich versuche gerade nachzuvollziehen, wie du auf die 45 kommst verwirrt

Hilf mir mal bitte kurz Augenzwinkern