Vektorräume - Fragen - allgemein und zu Aufgaben

22.11.2009, 05:22

LinAmateur

Vektorräume - Fragen - allgemein und zu Aufgaben

Hallo!

Ich habe einen ganzen Berg von Problemen... ich fange einfach mal an.

Ist eine K-lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen etwas anderes als ein Homomorphismus zwischen diesen? Ich gehe davon aus, dass "K-lineare Abbildung" "Homomorphismus" bedeutet. Wenn das nicht stimmt, sind meine Ansätze zu den folgenden Aufgaben wohl falsch.

Aufgabe 1:
"Ist die Folgende Teilmenge ein Untervektorraum des R³?"

Reicht es (allgemein bei K-Vektorräumen) zu zeigen, dass (bzw. ob)?:
$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \in U \Rightarrow a^{-1}\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a,b \in U \Rightarrow ab\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \in U, t \in K \Rightarrow at\in U \end{eqnarray*}$

Zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left(x,y,z\right) \in \mathbb R^{3}| x+y-z=0\right\} \end{eqnarray*}$
Das ist äquivalent mit
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left(x,y,x+y\right) \in \mathbb R^{3} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Inverses: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left(a,b,a+b\right) \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1\left(a,b,a+b\right) = (-a,-b,-a-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Da -a-b = -a-b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} existiert \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} das \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Inverse \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Eigenschaft \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a,b,a+b\right) \in \mathbb R^{3}, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*\left(a,b,a+b\right) = (ka,kb,k(a+b) = (ka,kb,ka+kb) \end{eqnarray*}$

Da ka+kb=ka+kb ist Eigenschaft c (wie kann ich sie nennen?) erfüllt.

Wie multipliziert man zwei Tupel miteinander? (a,b,c)*(d,e,f) = (ad,be,cf). Ist das richtig?

Dann wäre:

$\begin{eqnarray*} Multiplikation: \left(a,b,a+b\right) \in \mathbb R^{3}, \left(c,d,c+d\right) \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a,b,a+b\right) * \left(c,d,c+d\right) = (ac,bd,ac+ad+bc+bd) \end{eqnarray*}$

Da ac+bd nicht ac+ad+bc+bd ist funktioniert die Multiplikation nicht. Uns wurde aber gesagt, dass U ein Untervektorraum des R³ ist. Wo liegt also mein Fehler?

Aufgabe 2:

Seien V und W K-Vektorräume und f: V -> W eine K-lineare Abbildung. Zeige:

a) Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn der Kern von f nur den Nullvektor {0} enthält.

b) Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V.

c) Das Bild von f ist ein Untervektorraum von W.

zu a)
!= := "ungleich"

ker f = {0} <=> f(0) = 0 und f(a) != 0 für alle a != 0

Richtig?

Ich muss also folgendes zeigen:

f inj. <=> f(0)=0 und f(a) != 0 für alle a != 0

"=>":

gegeben: f(a)=f(b) und a=b für alle a,b

Sei f(a) = 0 und f(0) = b

Dann ist, da f ein Homomorphismus ist, f(a) + f(0) = f(a+0).
f(a) + f(0) = 0+b = b
f(a+0) = f(a) = 0

Daraus folgt: b = 0
Also f(a) = 0 und f(0)=0
Wegen der Injektivität ist a=0.

Also gibt es kein a != 0, das auf 0 abgebildet wird, also ist ker f = {0}

... Reicht das als Beweis für die eine Richtung?

"<=":

gegeben: f(0) = 0 und f(a) != 0 für alle a != 0

Seien f(a) = q und f(b) = q

... ab hier weiß ich nicht weiter! Tipps nehme ich gerne entgegen.

Aufgabe 3:

o := "kringel"
* := "verknüpft (mit)"

Seien V, W, Z K-Vektorräume und f: V -> W und g: W -> Z K-lineare Abbildungen.

Zeige, dass auch fog: V -> Z K-linear ist.

Es gilt:

f(a) * f(b) = f(ab)
g(a) * g(b) = g(ab)

zu zeigen ist also:

(fog)(a) * (fog)(b) = (fog)(ab)

(fog)(a) * (fog)(b)
= f(g(a)) * f(g(b)
weil f homomorph (ist das Adjektiv richtig?) ist
= f(g(a)*g(b))
weil g homomorph ist
= f(g(ab))
= (fog)(ab)

Reicht das als Beweis bzw. ist der Beweis richtig?

Aufgabe 4:

http://img34.imageshack.us/img34/9457/aufgabe4.jpg

Was genau muss ich zeigen, um zu zeigen, dass etwas ein K-Vektorraum ist?

Ist die folgende Liste (für die Aufgabe) korrekt bzw. fehlt etwas?

zu zeigen:

1) (HomK (V,W), +) abelsche Gruppe
1a) Neutrales
1b) Inverses
1c) Assoziativität
1d) Kommutativität

2) seien s,t element K f,g element HomK(V,W)

2a) Es existiert eine Abbildung K x HomK(V,W) -> HomK(V,W), (s,f) -> sf element HomK(V,W)
2b) s(f+g) = sf+sg
2c) (s+t)f = sf+tf
2d) (st)f = s(tf)
2e) 1(aus K)f = 1(aus HomK(V,W))f = f

... müsste hier (2e) nicht id(aus HomK(V,W) stehen? oder ist der Punkt unwichtig?

HomK(V,W) ist die Menge aller K-linearen Abbildungen von V nach W
Das bedeutet, dass jede Abbildung in HomK ein Homomorphismus ist.

zu 1a

zu 1a:
id(a+b) = a+b
und
id(a) + id(b) = a+b

Also ist die Identität ein Homomorphismus, also Teilmenge von HomK.

o := "kringel"

Da foid = f = idof, ist das neutrale Element die Identität.

Soweit, so gut...

zu 1b:

Das inverse Element zu einer Abbildung ist die Umkehrabbildung. Damit jede Abbildung eine Umkehrabbildung hat, muss jede Abbildung bijektiv sein. Also müssen alle Abbildungen in HomK Isomorphismen sein.

gegeben: f(a) + f(b) = f(a+b)

Surjektivität:

z.z.: f(V) = W

Injektivität:

z.z.: f(a) = c und f(b) = c => a=b

Ich glaube, mir fehlt etwas (aber was?). Ich kann doch nicht aus einem Homomorphismus schließen, dass er ein Isomorphismus ist. Hilfe!

zu 1c:

Assoziativität:

zu zeigen:

(fog)oh = fo(goh)

(fog)oh = f(g)oh = f(g(h)) = f(goh) = fo(goh) q.e.d

Reicht das?

zu 1d:

z.z.:

fog = gof

f und g sind Homomorphismen.

fog(a) = f(g(a)) = ... ?
gof(a) = g(f(a)) = ... ?

Auch hier weiß ich nicht weiter.

zu 2a:

Die gesuchte Abbildung ist gegeben!

zu 2b:

z.z.: s(f+g) = sf+sg

Wie zeige ich das?

zu 2c:
z.z.: (s+t)f = sf+tf

Wie zeige ich das?

zu 2d:

(st)f = s(tf)

Das scheint so offensichtlich, dass das immer gilt. Wie zeige ich das und gibt es ein Beispiel, in dem das nicht gilt?

zu 2e:

Ich habe keine Ahnung, nicht die geringste!, wie ich das zeigen soll.

Ich hoffe sehr, zu einigen Aufgaben nützliche Tipps zu erhalten. Ich verzweifle!

Danke schonmal!

22.11.2009, 08:55

kiste

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Antwort zu Aufgabe 1
Hallo,

bitte bitte bitte nur eine Frage pro Thema. Du siehst doch selbst wie groß dein Beitrag geworden ist. Das schreckt nur Helfer ab und ist unübersichtlich(insbesondere redet man ziemlich durcheinander...).

Ich antworte zur Übersicht in mehreren Beiträgen...(Anm.: Das ist eine Ausnahme, Doppelposts sind normalerweise nicht gewünscht)

Deine Vorüberlegung stimmt, K-lineare Abbildungen sind Homomorphismen von Vektorräumen.

zur Aufgabe 1:
Diese Aufgabe hast du komplett falsch gelöst. Was du zeigen musst für einen Untervektorraum ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall u_1,u_2\in U: u_1+u_2\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall k\in K, u\in U: ku \in U \end{eqnarray*}$

Eine Multiplikation $\begin{eqnarray*} u_1u_2 \end{eqnarray*}$ ist doch gar nicht definiert(ein Inverses schon gleich nicht)! Du hast da irgendwie Untergruppe und Untervektorraum vermischt. Lese dir nochmal genau die Definitionen durch.

Deine Vorüberlegung dass $\begin{eqnarray*} U = \{(x,y,x+y) \mid x,y\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ ist, ist richtig.
Der Beweis von "Eigenschaft c", die man Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation nennt, ist richtig und kann weiter verwendet werden.
Was jetzt also fehlt ist Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und dass die Menge nicht leer ist(das letztere ist trivial)

22.11.2009, 09:07

kiste

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Antwort zu Aufgabe 2 und 3
So jetzt die zweite Aufgabe.

Gegeben ist nicht

Zitat:

gegeben: f(a)=f(b) und a=b für alle a,b

sondern: $\begin{eqnarray*} \forall a,b: f(a) = f(b) \Rightarrow a=b \end{eqnarray*}$ !

Dein Beweis dass bei $\begin{eqnarray*} f(0) = b, b=0 \end{eqnarray*}$ sein muss ist korrekt(habt ihr dass noch nicht in der Vorlesung gehabt?)
Auch die Injektivität hast du richtig benutzt.

Für die Rückrichtung also:
Nehme an der Kern besteht nur aus dem Nullvektor. Sei also $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) \end{eqnarray*}$ , dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} f(a) - f(b) = 0 \end{eqnarray*}$ . Benutze nun K-Linearität um zu folgern dass a-b im Kern liegt.

Zur dritten Aufgabe:
Man sagt nicht homomorph(hab ich noch nie gehört), sondern linear oder "Da f ein Homomorphismus" oder für die schlampigen: "Da f Hom."

Der Beweis ist zur Hälfte richtig. Zunächst einmal ist die Verknüpfung * ungewohnt, normalerweise bezeichnet man die Operation zwischen den Vektoren als Addition +. Dies liegt daran, da ein Vektorraum eine abelsche Gruppe ist und um das abelsch anzudeuten wird in der Gruppentheorie dann + benutzt.
Warum also nur zur Hälfte richtig? Es fehlt dass man Skalare rausziehen kann. Schau dir nochmal die Definition einer K-linearen Abbildung dazu an

22.11.2009, 09:17

kiste

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Antwort zur Aufgabe 4
So last but not least, Aufgabe 4.

Die Bedingungen die du zeigen musst stimmen alle bis auf 2e.
Du musst nur $\begin{eqnarray*} 1\cdot f = f \end{eqnarray*}$ zeigen wobei die 1 aus dem Körper stammt.
id aus Hom(V,W) gibt es gar nicht!

Außerdem sprichst du die ganze Zeit von Kompositionen. Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R, W = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Was soll dann für $\begin{eqnarray*} f,g\in \mathrm{Hom}(V,W) \end{eqnarray*}$ die Komposition $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ bedeuten? g(x) ist doch ein 2-dim Vektor, f nimmt aber reelle Zahlen an!

Sprich: Du hast die Definition der Verknüpfung "+" aus der Aufgabe völlig ignoriert. Folglich sind neutrales Element, inverses etc. alle falsch.
Bevor du eine Aufgabe löst musst du sie genau lesen und verstehen!

22.11.2009, 16:33

LinAmateur

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Zu Aufgabe 1:

c := Symbol für Teilmengen

"Definition: Ein Untervektorraum eines K-Vektorraums V ist eine Untergruppe U c V, so dass mit s element K und u element U auch su element U gilt."

Daraus habe ich geschlossen, dass ich Untergruppeneigenschaften und "Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation" zeigen muss.

Wie komme ich auf das?:

$\begin{eqnarray*} U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall u_1,u_2\in U: u_1+u_2\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall k\in K, u\in U: ku \in U \end{eqnarray*}$

Nungut:

Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} k*\left(a,b,a+b\right) = (ka,kb,k(a+b)) = (ka,kb,ka+kb) \end{eqnarray*}$
Da ka+kb = ka+kb gilt die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation. (richtig formuliert?)

Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:
$\begin{eqnarray*} \left(a,b,a+b\right) + (c,d,c+d) = (a+c,b+d,a+b+c+d) \end{eqnarray*}$
Da a+b+c+d = a+b+c+d gilt die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition.

Gibt es hier ein Substanitv? "Nichtleere" ist bestimmt falsch.

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left(x,y,x+y\right) \in \mathbb R^{3} \right\} \end{eqnarray*}$
ich wähle x=1 und y=2.
Dann ist (1,2,3) Element der Menge. Also ist die Menge nicht leer.

Korrekt?

Aufgabe 3:

o := "kringel"

Seien V, W, Z K-Vektorräume und f: V -> W und g: W -> Z K-lineare Abbildungen.

Zeige, dass auch fog: V -> Z K-linear ist.

Es gilt:

f(a) + f(b) = f(a+b)
g(a) + g(b) = g(a+b)

zu zeigen ist also:

(fog)(a) + (fog)(b) = (fog)(a+b)

(fog)(a) + (fog)(b)
= f(g(a)) + f(g(b)
weil f linear ist
= f(g(a)+g(b))
weil g linear ist
= f(g(a+b))
= (fog)(a+b)

Außerdem ist zu zeigen, dass für v element V und k element K gilt:

f(kv) = kf(v)

f(kv) = f(k)f(v) = ...

Das würde doch bedeuten, dass ich zeigen muss, dass f(k) = k ist, oder?

Ich weiß nicht weiter.

22.11.2009, 16:37

LinAmateur

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Jetzt hat das "Danke für die schnelle Antwort. Ich antworte jetzt auch in mehreren Beiträgen, werde aber in Zukunft jede Frage getrennt stellen. :-)" gefehlt. So!

Aufgabe 2:

"Dein Beweis dass bei $\begin{eqnarray*} f(0) = b, b=0 \end{eqnarray*}$ sein muss ist korrekt(habt ihr dass noch nicht in der Vorlesung gehabt?)"

Nein, hatten wir, glaube ich, nicht.

Seien V und W K-Vektorräume und f: V -> W eine K-lineare Abbildung. Zeige:

a) Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn der Kern von f nur den Nullvektor {0} enthält.

b) Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V.

c) Das Bild von f ist ein Untervektorraum von W.

zu a)
!= := "ungleich"

ker f = {0} <=> f(0) = 0 und f(a) != 0 für alle a != 0

Ich muss also folgendes zeigen:

f inj. <=> f(0)=0 und f(a) != 0 für alle a != 0

"=>":

gegeben: f(a)=f(b) => a=b für alle a,b

Sei f(a) = 0 und f(0) = b

Dann ist, da f ein Homomorphismus ist, f(a) + f(0) = f(a+0).
f(a) + f(0) = 0+b = b
f(a+0) = f(a) = 0

Daraus folgt: b = 0
Also f(a) = 0 und f(0)=0
Wegen der Injektivität ist a=0.

Also gibt es kein a != 0, das auf 0 abgebildet wird, also ist ker f = {0}

"<=":

ker f = {0}
Also gibt es kein a!=0, das auf 0 abgebildet wird.

Sei $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) => f(a) - f(b) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Wegen der K-Linearität gilt:

$\begin{eqnarray*} f(a) - f(b) = f(a-b) = 0 \end{eqnarray*}$

Also liegt a-b im Kern.
Also ist a-b = 0, also a=b.

Für alle a,b gilt also $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) => a=b \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

zu b:

zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} f ker \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in ker f: a+b\in ker f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall v\in V, a\in ker f: av \in U \end{eqnarray*}$

Oben wurde gezeigt, dass f(0) = 0 ist, wenn f K-linear ist.
Also ist $\begin{eqnarray*} 0 \in ker f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => ker f \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a \in ker f \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} b \in ker f \end{eqnarray*}$

Dann ist f(a) = 0 und f(b) = 0
Also ist f(a) + f(b) = 0
Wegen der K-Linearität ist auch
f(a+b) = 0

Also ist $\begin{eqnarray*} a+b \in ker f \end{eqnarray*}$

Bleibt zu zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a \in ker f \end{eqnarray*}$

gilt, dass

$\begin{eqnarray*} va \in ker f \end{eqnarray*}$

Seien $\begin{eqnarray*} a \in ker f \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a) = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen der K-Linearität:

$\begin{eqnarray*} f(av) = f(a)*f(v) = 0 * f(v) = 0 \end{eqnarray*}$

Also ist ker f ein Untervektorraum von V.

richtig?

zu c:

c) Das Bild von f ist ein Untervektorraum von W.

z.z.:

f(f(V->W)) = U

wobei

$\begin{eqnarray*} U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in U : a+b\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall w\in W, a\in U: aw \in U \end{eqnarray*}$

Ein kleiner Tipp würde mir helfen. smile

22.11.2009, 16:46

kiste

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Zitat:

Original von LinAmateur
Daraus habe ich geschlossen, dass ich Untergruppeneigenschaften und "Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation" zeigen muss.

Wie komme ich auf das?:

Das ist ein Lemma was üblicherweise in jeder Vorlesung bewiesen wird. Die Untergruppeneigenschaft zeigen ist auch in Ordnung, aber dann musst du beachten dass die Verknüpfung eben nicht die Multiplikation hier ist sondern die Addition.
Die Beweise zu Aufgabe 1 sind richtig.

Zu Aufgabe 2:
nicht-leer und Abgeschlossen bezüglich Addition stimmt.
Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation hast du wiedereinmal eine Verknüpfung eingebaut die es nicht gibt(Sei dir immer klar was die Verknüpfungen bedeuten!).
Es ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \forall k\in K,a\in\ker f: ka\in \ker f \end{eqnarray*}$ .
Dementsprechend hast du K-linearität auch nicht verstanden. Es gilt f(ka) = k*f(a) nicht f(k)*f(a)!

Bei c) ist nun das Unterraumkriterium für das Bild zu beweisen. Der Nullvektor ist immer im Bild(warum?), also nicht leer.
Für Vektoren a,b im Bild nehme an du hast passende Urbilder und forme dann um.

Und noch Aufgabe 3:
Die Beweis von f°g(a+b) = f°g(a) + f°g(b) stimmt.
Was fehlt ist f°g(ka) = kf°g(a).
Dazu darfst du wieder benutzen dass g(ka) = kg(a) und f(kb) = kf(b) für alle passenden a und b Augenzwinkern

22.11.2009, 17:58

LinAmateur

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Aufgabe 3.

Achja, ich habe ja gegeben, dass f und g K-linear sind. Hammer

Ich übernehme deine Schreibweise für "Kringel".

zu zeigen: g°f(ka) = kg°f(a). für alle k in K und a in V

Da f und g K-linear sind, gilt
f(ka) = kf(a) für alle k in K und a in V
und
g(kb) = kg(b) für alle k in K und b in W

g°f(ka)
= g(f(ka))
wegen der Linearität von f
= g(kf(a))
wegen der Linearität von g
= kg(f(a))

q.e.d.

Aufgabe 2:

Bleibt zu zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a \in ker f \end{eqnarray*}$

gilt, dass

$\begin{eqnarray*} ka \in ker f \end{eqnarray*}$

Seien $\begin{eqnarray*} a \in ker f \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a) = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen der K-Linearität (Fehler verstanden):

$\begin{eqnarray*} f(ak) = f(a)*k = 0 * k = 0 \end{eqnarray*}$

Also ist ak auch in ker f.

jetzt richtig?

Zu 2c:

c) Das Bild von f ist ein Untervektorraum von W.

"Bei c) ist nun das Unterraumkriterium für das Bild zu beweisen."

f(f: V->W) ... dem bild, oder?

z.z.:

f(f:V->W) = U

wobei

$\begin{eqnarray*} U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in U : a+b\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall k\in k, a\in U: ak \in U \end{eqnarray*}$

Mich irritiert das doppelte f...

22.11.2009, 19:42

LinAmateur

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Aufgabe 4:

Aus irgendeinem Grund kann ich keine URL mehr posten. Aufgabenstellung siehe erster Post.

zu zeigen:

1) (HomK (V,W), +) abelsche Gruppe
1a) Neutrales
1b) Inverses
1c) Assoziativität
1d) Kommutativität

2) seien s,t element K f,g element HomK(V,W)

2a) Es existiert eine Abbildung K x HomK(V,W) -> HomK(V,W), (s,f) -> sf element HomK(V,W)
2b) s(f+g) = sf+sg
2c) (s+t)f = sf+tf
2d) (st)f = s(tf)
2e) 1(aus K)f = f

1a) Das Neutrale Element ist also die 0 (oder der 0-Vektor?). Ich muss also nur zeigen, dass die Abbildung des Kerns K-linear ist. Aber wie?

f(ker f) = 0

f(ker f) + f(ker f) = 0

Ansatz 1:
f(ker f + ker f)
= f(2 ker f)
um auf
= 2 f(ker f)
zu kommen, muss die K-Linearität doch bereits gegeben sein, oder?

Ansatz2:
Annahme: f(ker f+ker f) != 0 zum Widerspruch führen.. weiß nicht, wie.

1b)

Das Inverse zu f ist -f. Also muss ich zeigen, dass -f K-linear ist, wenn f K-linear ist.

f(a+b) = f(a) + f(b)
-f(a+b) = -(f(a) + f(b)) = -f(a) - f(b)

f(ka) = kf(a)
-f(ka) = -(kf(a)) = - kf(a)

Also ist -f K-linear, also Element in HomK.

richtig?

1c)

zu zeigen: (f + g) + h = f + (g+h)
f,g,h sind k-linear

f(a) + f(b) = f(a+b)
g(a) + g(b) = g(a+b)
h(a) + h(b) = h(a+b)

(f(a+b) + g(a+b)) + h(a+b) = (f(a) + g(a) + f(b) + g(b)) + h(a) + h(b) ... und weiter?

f(ka) = kf(a)
g(ka) = kg(a)
h(ka) = kh(a)

(f(ka) + g(ka))+h(ka) = (kf(a) + kg(a))+kh(a) ...hm, irgendwas mach' ich falsch.

1d)

zu zeigen: f+g = g+f

Ich weiß nicht wie.

2a) ist gegeben. also ist sf in HomK(V,W)

2b-d) Ich hab keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.

2d) (st)f ist element in HomK(V,W)
tf ist ebenfalls element in HomK(V,W)
s(tf) also auch.
Warum sollte denn nicht (st)f = s(tf) sein?

2e) z.z.: 1(aus K)f = f
Da sf element in HomK(V,W) ist, ist für s=1 1f=f ... das sieht zu einfach, also falsch, aus.

Sorry, ich weiß gar nicht, was von mir gefordert ist bzw. wie ich das umsetze. Gilt wohl für die ganze Aufgabe.. :/

22.11.2009, 20:01

kiste

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Aufgabe 3 stimmt, Aufgabe 2b auch aber da ist es kritisch die Multiplikation mit einem Skalar rechts zu schreiben. Schreibe das besser wie üblich links.

Aufgabe 2c)
Du hast also eine lineare Abbildung f : V -> W.
Das Bild ist ja die Menge $\begin{eqnarray*} \mathrm{Bild} f = \{f(v) | v\in V\} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also: $\begin{eqnarray*} w\in \mathrm{Bild} f \Leftrightarrow \exists v\in V: f(v) = w \end{eqnarray*}$ . Nutze dies für den Beweis.

Bei Aufgabe 4 verstehe ich nicht was du mit dem Kern da willst? Der hat da gar nichts zu suchen.

Das neutrale Element ist die Funktion die alles auf die 0 aus W schickt!

1b) stimmt.
1c) und 1d) vererben sich direkt weil W ein Vektorraum ist, also dort das Kommutativ und Assoziativgesetz gilt. Versuche das nachzuvollziehen.

2a-e) sind ebenso trivial. Schlaf da am besten nochmal eine Nacht darüber Augenzwinkern

25.11.2009, 02:27

LinAmateur

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Hey, ich wollte mich noch mal bedanken, du hast mir sehr geholfen.

"1c) und 1d) vererben sich direkt weil W ein Vektorraum ist, also dort das Kommutativ und Assoziativgesetz gilt. Versuche das nachzuvollziehen.

2a-e) sind ebenso trivial. Schlaf da am besten nochmal eine Nacht darüber Augenzwinkern"

Das verstehe ich aber nicht.

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