Nachweis von Basen in Pol_2 R

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis von Basen in Pol_2 R
Guten morgen,

die letzte Aufgabe mit der ich mich dieses Wochenende rumschlagen muss:

Betrachten wir nun der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 und die Mengen





Zeigen Sie, dass es sich um Basen von handelt.


Also meine Kenntnisse:

Basen sind die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren von einem Vektorraum.Es ist also das kleinste Erzeugendensystem. Und nun kann jedes Element von V durch Linearkombinationen von Basen dargestellt werden.


Das heißt zu zeigen ist, dass die Elemente von B sowie von C linear unabhängig sind und man zusätzlich jedes Element von V, also der Polynome:
durch die drei Basen dargestellt werden kann.

Nun erstmal für die Menge B lineare Unabhängigkeit:

r*1+s*(x)+t*(x²)=0 Nun muss ich zeigen, dass es dafür nur eine triviale Lösung gibt. Nur die Frage ist, wie ich das mache...

Und wie beweise ich, dass ich jeden Vektor aus den Basen darstellen kann?


Vielen Dank Gott
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du beweist dass jeder Vektor dargestellt werden kann überlasse ich dir, das ist wirklich trivial!

Ich vermute einmal dass ihr Polynome als Funktionen betrachtet(das muss keineswegs so sein!), sei also aX^2 + bX + c = 0 für alle X. So kannst du doch auch einfach ein paar X einsetzen(z.B. X=0,1,2). Dann wirst du darauf kommen dass a=b=c=0 sein muss.

Da du jetzt weißt dass der Raum 3-dimensional ist reicht es bei der Menge C zu zeigen dass diese ein EZS ist, also die Vektoren 1 und X dargestellt werden können als Linearkombination
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Was du auch machen kannst ist Koeffizientenvergleich. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle ihre Koeffizienten gleich sind. Jetzt hast du aber eine Polynomgleichung aufgestellt, was sind denn jeweils die Koeffizienten und bringt dich das dann weiter?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Der Koeffizientenvergleich funktioniert erst nachdem man bewiesen hat dass B eine Basis ist. Dieser Beweis ist ja gerade die Rechtfertigung des Koeffizientenvergleichs!
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, da dreht man sich ja im Kreis wenn man das für die Standardbasis noch nicht hat. Für C funktioniert es dann aber, wenn man B schon bewiesen hat.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So kannst du doch auch einfach ein paar X einsetzen(z.B. X=0,1,2). Dann wirst du darauf kommen dass a=b=c=0 sein muss.


Hab ich gemacht, und ich bekomme tatsächlich a=b=c=0 heraus, nur das verwirrt mich irgendwie dass ich da jetzt einfach echte Werte einsetze um so lineare Unabhängigkeit zu zeigen...das leuchtet mir nich ganz ein...



Um zu zeigen dass sich jeder Vektor darstellen lässt kann ich ja einfach schreiben:





Wieso weiß ich dass der Raum dreidimensional ist? Habe hier zwar 3 Basen aber wenn ich mir das als Funktion vorstelle, ist die Funktion ja in einer Ebene -- > 2 Dimensional
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Basis eben 3 Elemente besitzt. Das ist die Definition von Dimension!

Deine Vorstellung(gibt es das Wort? Big Laugh ) bitte schnellstmöglich wegwerfen, sowas ist meist hinderlich. Halte dich vorerst nur an die Definitionen, eine (richtige) Vorstellung ergibt sich später von selbst.

Wenn die Linearkombination für alle X gilt dann muss sie auch für spezielle Werte gelten. Das Einsetzen ist einfach das Überprüfen ob es gilt für ein paar Werte. Damit kommt man auf eine notwendige Bedingung die sich dann auch als hinreichende Bedingung herausstellt
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich das anstelle von einsetzen mit Werten auch in einem LGS lösen:

a*1+b*x+c*x²=0

Nun die Werte für 1:

a*1 + b*0 + c*0 = 0 -- > a=0

Die Werte für x:

a*0+b*x+c*0 = 0 -- > b=0

Werte für x²:

a*0+b*0+c*x²=0 -- > c=0


Ich glaub in einem LGS geht es auch, aber ob das so geht wie ich es hingeschrieben habe?
Vielleicht muss man auch a*1+b*x+c*x²=0 ersetzen durch einfaches aufschreiben von:
f(x)=1 g(x)=x h(x)=x² und dann jeweils mit a,b,c verknüpfen?

Wie schreibt man das mathematisch nur korrekt hin...?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz: total unverständlich.
Du musst lernen dich eindeutig und klar auszudrücken. Was soll die Werte für x oder die Werte für x^2 bedeuten?
Keine Ahnung was du da gemacht hast.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte so wie das analog hier gemacht wurde:

Analog hierzu

geht das auch so?

Also f(x)=1 mit a multiplizieren
g(x)=x mit b multiplizieren
h(x)=x² mit c multiplizieren

a 0 0 0
0 b c 0
0 0 0 0

Darf man das so auch aufschreiben, wäre das mathematisch korrekt?
Das Verfahren dürfte ja immer funktionieren (dannach suche ich mal wieder , nach einem allgemeinen Verfahren ;-) das weist du ja kiste )


PS: Sorry fürs undeutliche ausdrücken
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Verfahren ist doch gerade der bereits angesprochene Koeffizientenvergleich! Den darfst du erst benutzen wenn du weißt dass die Monombasis(Alle ) wirklich eine Basis ist.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

so kiste, habe mir das jetzt nochmal angeschaut,

also ich habe nun bewiesen, dass die 3 Vektoren 1,x, x² linear unabhängig sind.
Aber zum Beweis, dass diese Basen sind, fehlt mir ja nun noch, dass diese ein Erzeugendensystem von Pol_2 R sind.

Das heißt ich muss zeigen, dass alle Polynome 2.Grades durch diese 3 Vektoren dargestellt werden können.
Nur wie zeige ich das?

Einfach indem ich sage:



Das wäre ja nur eine Behauptung...?


Ich kann ja nicht daraus schließen, dass ich 3 linear unabhängige Vektoren habe, dass ich ein Vektorraum mit der Dimension 3 habe. Weil dann könnte ich sagen, in einem Vektorraum der Dimension 3 bilden 3 linear unabhängige Vektoren ein Erzeugendessystem. Diese sind dann gleichzeitig Basen.

Aber ich muss ja erstmal den Beweis für Basen liefern, damit ich die Dimension von V bestimmen kann!



2.

Zitat:
Da du jetzt weißt dass der Raum 3-dimensional ist reicht es bei der Menge C zu zeigen dass diese ein EZS ist, also die Vektoren 1 und X dargestellt werden können als Linearkombination


Wieso muss ich nur zeigen dass die Vektoren 1 und X als Linearkombination darstellbar sind? Ich weiß Raum hat 3 Dimensionen.
Folglich muss ich nur zeigen, dass 3 Vektoren ein EZS bilden, dann sind diese Basen, das verstehe ich. Nur warum muss ich das nur für 1 und X zeigen?

Bitte um hilfe ....in beiden Fällen ^^
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

1.)Ist zwar trivial aber wenn du es nicht siehst:

.
Also ist es ein EZS

2.) X^2 ist doch in C, d.h. dafür muss man nicht mehr zeigen dass es darstellbar ist Big Laugh
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, dankeschön!
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