Differenz von Parabel und Gerade

22.11.2009, 10:39

Mandy2711

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Differenz von Parabel und Gerade

Also ich habe hier schon viele Aufgaben aus meinem Mathe Buch entdeckt, deswegen wollte ich mal schreiben, welches das ist. Vlt hilft das ja auch smile

smile

11 Elemente der Mathematik von Schroedel. AUfgabe 10a Seite 54:

"An welcher Stelle unterscheiden sich die Funktionswerte von f1(x) und f2(x) am wenigsten voneinander?
$\begin{eqnarray*} f1(x)= 2x-3 f2(x)= x²-4x+7 \end{eqnarray*}$

Ich habe mir eine Zeichnung gemacht.. Aber ich habe keine Ahnung, wie das hier gehen soll. Leider. Unser Mathelehrer hat zwischen Tür und Angel nach dem Klingeln aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} x²-4x+7 - (2x-3) <br /> = x²-6x+10<br /> = d(x) \end{eqnarray*}$ Das d steht für Differenz, weil ja die Stelle x gesucht ist, an der die Differenz p(x) - g(x) am minimalsten ist.

Hier steht, dass diese "Differenzfunktion" ihren kleinsten Funktionswert im Scheitelpunkt hat. (Das kommt mir meiner Zeichnung ehrlich gesagt nicht hin)
Dann steht hier noch die quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} d(x)= x²-6x+10 <br /> = x²-6x+9-9+10<br /> =(x-3)²+1 \end{eqnarray*}$

Weiter steht hier dann noch die Scheitelpunktsform $\begin{eqnarray*} y-y0=a(x-x0)² \end{eqnarray*}$ Er hats dann eingesetzt und dann kam S(3|1) raus. Bedeutet also, dass die Differenz an der Stelle x=3 am kleinsten ist.

Stimmt das alles so? Ich kann das nicht nachvollziehen, weil bei meiner Zeichnung nicht der Scheitelpunkt der am wenigsten entfernte Punkt ist. (Er hatte nur eine Skizze)

22.11.2009, 10:52

klarsoweit

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RE: Differenz von Parabel und Gerade

Zitat:

Original von Mandy2711
Hier steht, dass diese "Differenzfunktion" ihren kleinsten Funktionswert im Scheitelpunkt hat. (Das kommt mir meiner Zeichnung ehrlich gesagt nicht hin)

Gemeint ist natürlich der Scheitelpunkt von $\begin{eqnarray*} d(x) = x^2-6x+10 \end{eqnarray*}$ .

Wie man leicht sieht, ist d(x) eine nach oben geöffnete Parabel und die hat nun mal ihren kleinsten Wert im Scheitelpunkt.

Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.

22.11.2009, 10:57

Mandy2711

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RE: Differenz von Parabel und Gerade
ja, das weiß ich. Aber gesucht ist ja nicht der kleinste Punkt der Parabel.
Weißt du denn, was gesucht ist? mir fällt es schwer das zu erklären..

22.11.2009, 11:46

Mandy2711

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hab jetzt nochmal eine Stunde versucht das zu verstehen, aber es macht einfach nicht klick. Morgen schreibe ich klausur und ich denke, dass ich das können muss.
Es ist nicht so, dass ich im Unterricht nicht aufpasse. Aber das ging alles so schnell und wir hatten überhaupt keine Zeit mehr Fragen zu stellen...

22.11.2009, 11:57

vektorraum

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RE: Differenz von Parabel und Gerade

Zitat:

Original von Mandy2711
ja, das weiß ich. Aber gesucht ist ja nicht der kleinste Punkt der Parabel.

Durch die Differenzbildung hast du doch eine "Abstandsfunktion" bekommen, die also die Differenz von $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ misst.

Du willst wissen, wann dieser Abstand am kleinsten ist. Also siehst du dir den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ mal an und bemerkst, wie schon geschrieben, dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist.

Beim Scheitelpunkt wird der kleinste Funktionswert angenommen, was heißt das also???

22.11.2009, 12:05

Mandy2711

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also habe ich quasie aus beiden gleichungen eine gemacht?

also irgendwie stehe ich total auf dem schlauch -.-
laut meiner zeichung ergibt das gar keinen sinn alles.

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22.11.2009, 12:12

vektorraum

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Zitat:

Original von Mandy2711
also habe ich quasie aus beiden gleichungen eine gemacht?

also irgendwie stehe ich total auf dem schlauch -.-
laut meiner zeichung ergibt das gar keinen sinn alles.

Was genau macht keinen Sinn. Zeichnen wir uns doch mal das ganze auf:

Dann sind deine ursprünglichen Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Du siehst, wie sich der Abstand verhält und kannst eine Vermutung abgeben, wo die Differenz (also der Abstand der beiden Funktionen) am geringsten ist.

Nun wollen wir das mal genau rausbekommen und betrachten also die Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} d(x)=f_2(x)-f_1(x) \end{eqnarray*}$ .

Die hat folgendes Aussehen:

Wenn man alle drei einzeichnet haben wir also:

Die blaue Funktion ist unsere Abstandsfunktion und die verhält sich genauso, wie wir das intuitiv vom Abstand beider Funktion erwartet haben: für kleine x-Werte wird der Abstand immer größer, für große x-Werte wird der Abstand auch immer größer.

Jetzt schauen wir, wo der Abstand beider Funktionen am kleinsten wird - dazu wandern wir die blaue Kurve entlang und schauen, wann diese Funktion den kleinsten Funktionswert annimmt. Das ist gerade am Scheitelpunkt oder auch dem Minimumpunkt.

Ich hoffe, dass dir das jetzt etwas klarer wird, sonst sag Bescheid, wo genau es hakt.

22.11.2009, 12:15

Mandy2711

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ja.. jetzt macht das alles sinn.. danke smile

smile

aber ich brauche doch dann an sich nur die x koordinate des scheitelpunktes oder? weil der y-wert interessiert ja nicht..

22.11.2009, 12:17

vektorraum

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RE: Differenz von Parabel und Gerade

Zitat:

Original von Mandy2711
"An welcher Stelle unterscheiden sich die Funktionswerte von f1(x) und f2(x) am wenigsten voneinander?
$\begin{eqnarray*} f1(x)= 2x-3 f2(x)= x²-4x+7 \end{eqnarray*}$

Das wäre richtig, und die Aufgabe wäre erfüllt. Den y-Wert bekommt man aber einfach geschenkt, den haben wir ja nicht extra berechnet.

Vielleicht ergänzen wir das ganze: hast du eine Interpretation für den Funktionswert y=1 ???

22.11.2009, 12:20

Mandy2711

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RE: Differenz von Parabel und Gerade

Zitat:

[i]Original von vektorraum

Vielleicht ergänzen wir das ganze: hast du eine Interpretation für den Funktionswert y=1 ???

bitte was?? Was meinst du mit Interpretation ??

22.11.2009, 12:22

vektorraum

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RE: Differenz von Parabel und Gerade
Der y-Wert hat eine Bedeutung. Wenn x=3 die Stelle ist, wo beide Funktionen den geringsten Abstand haben, dass ist y gleich der ...

22.11.2009, 12:23

Mandy2711

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wo sie den größten abstand haben?
ich weiß ja nur, dass der 1 die y-koordinate des scheitelpunktes von d(x) ist.

22.11.2009, 12:25

vektorraum

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Zitat:

Original von Mandy2711
wo sie den größten abstand haben?

Nein, wir haben doch die ganze Zeit ausgerechnet, wo der Abstand am kleinsten ist. Die Frage ist ja schon geklärt. Lange Rede kurzer Sinn: die Funktion d misst den Abstand beider Funktionen (s.o). Ihre Funktionswerte sind also gerade dem Abstand!!!

Also ist der Abstand der beiden ursprünglichen Funktionen an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ gleich 1.

22.11.2009, 12:30

Mandy2711

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omg.. das ist kompliziert. du verwirrst mich irgendwie nur noch mehr verwirrt

verwirrt

22.11.2009, 12:32

vektorraum

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Eigentlich sollte das nicht kompliziert und verwirrend sein, wenn du die obigen Überlegungen verstanden hast.

Schau dir alles noch mal in aller Ruhe an und stelle ggf. später nochmal Fragen. Manchmal muss man es eben sacken lassen, bis man es voll und ganz verstanden hat Wink

Wink

22.11.2009, 12:36

Mandy2711

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Zitat:

"Ihre Funktionswerte sind also gerade dem Abstand!!!"

Das versteh ich nicht.

22.11.2009, 12:40

vektorraum

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Ist auch ein etwas komisches deutsch verwirrt

verwirrt

Die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} d=d(x) \end{eqnarray*}$ entsprechen gerade dem Abstand der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ .

Du setzt also irgendeinen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert in die Funktion $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$ ein, und die Funktion gibt dir den entsprechenden Abstand aus.

Wir haben also rausbekommen, dass der Abstand der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ minimal wird - also berechnen wir

$\begin{eqnarray*} d(3)=3^2-6\cdot 3+10=\ldots \end{eqnarray*}$

Überraschung, da kommt also 1 raus - was wir ja schon hatten.

22.11.2009, 12:43

Mandy2711

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ja, aber ist das nicht eigentlich klar?

mal ne blöde frage.. was weiß ich neues? bin total verwirrt. weil das d(3) = 1 ist, muss ja so sein, weil der scheitelpunkt die koordinaten (3|1) hat.

22.11.2009, 12:47

vektorraum

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Zitat:

Original von Mandy2711
ja, aber ist das nicht eigentlich klar?

Willst du mich ein bisschen verschaukeln???

Mir ging es nur darum, dass du verstehst, was hinter dieser Zahl 1 steckt - das die also eine Bedeutung hat.

In der Regel sind solche Aufgaben später nämlich von der Form:

Bestimme den Wert, für den die Differenz der beiden Funktionen minimal ist. Gib den minimalen Abstand an.

Um diese zweite Teilaufgabe ging es mir. Deshalb habe ich nochmal versucht dir klar zu machen, was die Zahl 1 eigentlich bedeutet. Du hast also quasi den Abstand geschenkt bekommen Freude

Freude

22.11.2009, 12:55

Mandy2711

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achsoo..^^

na dann freu ich mich schonmal auf später smile

smile

weil das weiß ich dann schon smile

smile

dank dir

Mit Zunge

22.11.2009, 12:59

vektorraum

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Ich lass mich nicht von Männern knutschen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na dann ist ja jetzt gut, wieder ein Problem geklärt Wink

Wink

22.11.2009, 13:00

Mandy2711

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ich bin kein mann Big Laugh

Big Laugh

22.11.2009, 13:01

vektorraum

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Na dann

Mit Zunge

Hatte bloß deine "Geschlechtszuordnung" im Profil gesehen.

Alles klar, nicht das es OT wird.

Edit: Jetzt hat SIE es geändert Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2009, 13:28

klarsoweit

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RE: Differenz von Parabel und Gerade

Zitat:

Original von vektorraum
Durch die Differenzbildung hast du doch eine "Abstandsfunktion" bekommen, die also die Differenz von $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ misst.

Noch ein paar Bemerkungen zum Begriff "Abstand" . Bei dieser Aufgabe wurde der Abstand der Funktionen parallel zur y-Achse gemessen. Das ist nicht zu verwechseln mit dem euklidischen Abstand.

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