gruppentheorie, ord(gh), mit g*h kommutativ

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22.11.2009, 11:41	Eros	Auf diesen Beitrag antworten »
*gruppentheorie, ord(gh), mit gh kommutativ** Hallo an alle. Ich habe folgendes Problem. Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{ord(g)ord(h)}{ggT(ord(g),ord(h))^{2}} \end{eqnarray*}$ die Ordnung von gh (also ord(gh)) teilt. Hab schon sehr viel versucht. Hat jemand eine Idee, wie ich ansetzen kann?? Danke, lg
23.11.2009, 00:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: gruppentheorie, ord(gh), mit gh kommutativ** Ich denke, dass es am einfachsten ist, allgemein die Ordnung von $\begin{eqnarray} gh \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Die ist nämlich gerade $\begin{eqnarray} \frac{o(g)\cdot o(h)}{{\rm ggT}(o(g),o(h))} \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
23.11.2009, 07:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist mit g=h^-1?
23.11.2009, 07:30	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
@Reksilat Ja, das wäre eine Traumformel, wenn sie stimmen würde...Leider kann man sie nur in dem Speziallfall, dass die Ordnungen von g und h teilerfremd sind, beweisen...
23.11.2009, 11:46	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt natürlich. Danke für den Hinweis. Ich muss wohl irgendwas mit disjunkten Zykeln im Kopf gehabt haben. Jedenfalls ist die Ordnung ein Teiler von $\begin{eqnarray} n:=\frac{o(g)\cdot o(h)}{{\rm ggT}(o(g),o(h))} \end{eqnarray}$ . Es existiert also ein $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=r\cdot o(gh) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen bleibt: $\begin{eqnarray} r\|{\rm ggT}(o(g),o(h)) \end{eqnarray}$ Angenommen dem wäre nicht so, dann gibt es eine Primzahlpotenz $\begin{eqnarray} p^f\|r \end{eqnarray}$ , mit o.B.d.A. $\begin{eqnarray} p^f\not\|o(g) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p^f\|o(h) \end{eqnarray}$ . Nun schaut man sich $\begin{eqnarray} (gh)^{n/p^f} \end{eqnarray}$ an. Gruß, Reksilat. PS: Wahrscheinlich wieder alles voller grober und unglaublich dummer Fehler.
23.11.2009, 20:54	Rone	Auf diesen Beitrag antworten »
muss korrigieren, sollte kein unfug sein, außer irgendwer ist sehr gemein. vlt der vollständigkeithalber. es soll gezeigt werden, wenn ord(a)= s, ord(b)=t, ab kommutativ, d= ggt(s,t), dann gilt: $\begin{eqnarray} \frac{st}{d^{2}} \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} ord(ab) \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} \frac{st}{d} \end{eqnarray}$ Den rechten Teil hab ich gezeigt, aber der rechte bereitet mir gewisse Schwierigkeiten @ Reksilat: mit der Beh. folgt dann sofort d=1 <=> ord(ab) = ord(a) ord(b) die aber noch bewiesen gehört
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23.11.2009, 21:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein erster Beitrag war Unfug, das ist mit der roten Anmerkung gemeint. Am besten gar nicht beachten. Mein zweiter Beitrag ist besser. Gruß, Reksilat.
23.11.2009, 21:04	Rone	Auf diesen Beitrag antworten »
ok sorry
24.11.2009, 11:21	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir persönlich ist es sonnenklar, warum $\begin{eqnarray} \frac {ord(g)org(h)} {d^2} \mid ord(gh) \text{ mit } d:=ggT(ord(g),ord(h)) \end{eqnarray}$ gelten muss, ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob das nachfolgende Argument jetzt wirklich der einfachste Zugang ist, aber vielleicht findet ja jemand darauf aufbauend einen einfacheren... Ist nämlich $\begin{eqnarray} W=<g> \cap <h> \end{eqnarray}$ der Durchschnitt der von g und h erzeugten Untergruppen der gegebenen Gruppe, so hat diese offenbar die Gestalt $\begin{eqnarray} W=<g^{\frac {ord(g)}t}>=<h^{\frac {ord(h)}t}> \end{eqnarray}$ für irgendeinen poitiven Teiler t von d, wobei \|W\|=t ist... Betrachten wir nun das Bild $\begin{eqnarray} \nu(g) \end{eqnarray}$ unter dem natürlichen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \nu: <g> \to <g>/W \end{eqnarray}$ , so hat es dann offenbar die Ordnung $\begin{eqnarray} \frac{ord(g)}t \end{eqnarray}$ und diese muss wegen $\begin{eqnarray} gh^{ord(gh)}=e \Rightarrow g^{ord(gh)}=h^{-ord(gh)} \in W \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} ord(gh) \end{eqnarray}$ sein und daher erst recht $\begin{eqnarray} \frac{ord(g)}d \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} ord(gh) \end{eqnarray}$ . Ich habe mir erlaubt, das Finale des Beweises etwas zu kürzen. Im weiteren Verlauf muss man noch ein analoges Argument für ord(h)/d durchgehen und ist dann fast fertig. Für Rückfragen stehen hier natürlich alle zur Verfügung. Gruß, Reksilat. @Reksilat Ich denke, da ist noch einiges dabei, was man sich überlegen muss, aber es steht dir natürlich frei (und ich habe auch ausdrücklich nichts dagegen) ihn zu kürzen... Danke.
24.11.2009, 11:36	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mystic, Ich möchte Dich sehr darum bitten, Deinen Beitrag etwas zu kürzen. Mir ist klar, dass man bei etwas komplizierteren Aufgaben versucht ist, eine vollständige Lösung zu posten, aber das widerspricht eben dem Sinn dieses Forums. Zumindest solltest Du mit der Veröffentlichung einige Zeit warten, bis die Gefahr vorüber ist, dass der Fragesteller die Komplettlösung einfach abschreibt. Gruß, Reksilat. PS: Trotzdem ein schöner Beweis.
24.11.2009, 12:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag: Ich möchte noch mal erklären, weshalb ich die Kürzung durchgeführt habe. Natürlich erfordert es noch einiges an Denkarbeit, den Beweis nachzuvollziehen, aber es hindert ja niemand den Fragesteller daran, die Lösung auch ohne vorheriges Verständnis einfach abzuschreiben. Das selbständige Aufschreiben ist aber letztlich die eigentliche Probe, ob man etwas verstanden hat und deshalb spricht meiner Meinung nach zwar nichts dagegen, jemanden bis zum Ende des Beweises zu geleiten, aber dann lieber schrittweise und nicht kompakt ausformuliert. Gruß, Reksilat. PS: Es wäre schön, wenn Du die PN-Funktion wieder aktivieren würdest, Mystic. Man kann Dich sonst ja gar nicht erreichen.
24.11.2009, 14:56	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin inzwischen ohnehin zur Einsicht gelangt, dass es im Sinne von Caesar Wahlspruch "Divide et impera!" der einfachste Weg ist, zuerst den Spezialfall d=1 zu beweisen und erst anschließend und darauf aufbauend dann den allgemeinen Fall... PS. Habe nun mein Profil bez. PNs verändert...

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