Existenz von E(X)?

22.11.2009, 12:41	hhuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz von E(X)? Bitte Hilfe mir zu diese Frage Die Frage ist Es seien $\begin{eqnarray} (\Omega,A,P) \end{eqnarray}$ ein W- Raum und $\begin{eqnarray} X:\Omega \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} IR \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable (a) Sei $\begin{eqnarray} F:IR \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ die Verteilung Funktion von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . zeigen Sie : (i) $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ existiert dann und nur dann ,wenn $\begin{eqnarray} \int_0^{+\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-F(y))dy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(y)dy \end{eqnarray}$ existieren. (ii) Falls $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ existiert gilt $\begin{eqnarray} E(X)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{+\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-F(y))dy-\int_{-\infty}^0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(y)dy \end{eqnarray}$ (b) Sei $\begin{eqnarray} X_a,_b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =X 1_{\{w:a<X(w)<=b}\} \end{eqnarray}$ .Beweisen Sie $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ existiert $\begin{eqnarray} \Longrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a\rightarrow_{-\infty}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ,\lim_{b\rightarrow_{+\infty}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [X_a,_b]=E[X] \end{eqnarray}$ bitte bitte hilf mir
22.11.2009, 13:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} E(X) = \int ~ X ~ \dd P \end{eqnarray}$ , wobei das Integral rechts genau dann definiert ist, wenn a) $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ messbar ist (Ok, das ist jede Zufallsgröße per Definition), sowie b) sowohl Positivteil $\begin{eqnarray} X^+ := \max(X,0) \end{eqnarray}$ sowohl Negativteil $\begin{eqnarray} X^- := \max(-X,0) \end{eqnarray}$ integrierbar sind, d.h. $\begin{eqnarray} \int ~ X^+ ~ \dd P < \infty, \qquad \int ~ X^- ~ \dd P < \infty \end{eqnarray}$ . Der Erwartungswert ist dann letztendlich die Differenz der beiden Werte, also $\begin{eqnarray} E(X) = \int ~ X^+ ~ \dd P ~-~ \int ~ X^- ~ \dd P \end{eqnarray}$ . Durch Anwendung von Fubini kannst du dann die einzelnen Formeln $\begin{eqnarray} \int ~ X^+ ~ \dd P &=& \int\limits_0^{\infty} ~ (1-F(y)) ~ \dd y \\ \int ~ X^- ~ \dd P &=& \int\limits_{-\infty}^0 ~ F(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ nachweisen.
22.11.2009, 16:41	hhuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort aber ich habe eine Frage: Existenz von E(x) bedeute,dass beide $\begin{eqnarray} E(X^+) ,E(X^-) \end{eqnarray}$ ist p-Integral??? und ich habe $\begin{eqnarray} E(x^+) \end{eqnarray}$ propiert,aber ich weiß nicht ,dass ist richt oder falsch $\begin{eqnarray} E(X^+)=\int_0^{\infty}xf(x)dx=-\int_0^{\infty}x.d/dx(1-F(x))dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-x(1-F(x))\rceil_0^{\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +\int_0^{\infty}(1-F(x))dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_0^{\infty}(1-F(x))dx \end{eqnarray}$ . und gleiche für $\begin{eqnarray} E(x^-) \end{eqnarray}$ und was ist über(b)???

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