Rekursive folge umwandeln in die explizite Darstellung

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22.11.2009, 13:37	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive folge umwandeln in die explizite Darstellung Hallo, ich habe hier diese rekursiv definierte Folge und möchte sie in die explizite Darstellung umwandeln: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{2}\cdot a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}, a_0=2 \end{eqnarray}$ Ich habe schon hin und her gerechnet, aber es kam nichts dabei raus. Das ausrechnen einiger Werte bringt mich leider auch nicht weiter, ich kann keine Regelmäßigkeit feststellen... Normal ratet man ja eine Darstellung und beweist diese mit vollständiger Induktion. Ich wäre wiirklich sehr froh über einen Trick den man hier anwenden kann. Bis denn mathe760
24.11.2009, 16:47	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn keiner einen Tipp? Bis denn mathe760
24.11.2009, 17:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine rationale Zahlenfolge. Schau dir mal Zähler- und Nennerfolge der vollständige gekürzten Brüche getrennt an, und versuche für die eine Regelmäßigkeit zu finden, lass dich doch von den Ausdrücken in deinem letzten Thread hier inspirieren: Ziffern in der Dezimaldarstellung einer Zahl finden
24.11.2009, 18:02	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm wie es auch versuche, ich komme nur auf Rekursionen, ich sehe da einfach keine regelmäßigkeit... Wie soll man denn dabei vorgehen ? Bis denn mathe760
24.11.2009, 18:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich betrachte mal die Folge besser mit $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} a_0=2 \end{eqnarray}$ . Ab Index $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ stimmen dann beide Folgen überein. Den Grund wirst du später sehen - es schreibt sich einfach besser. Betrachten wir mal $\begin{eqnarray} a_n = \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray}$ mit teilerfremden positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} p_n,q_n \end{eqnarray}$ , zudem kann man (induktiv) zeigen, dass $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ ungerade ist. Dann ist $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = \frac{p_n}{2q_n} + \frac{q_n}{p_n} = \frac{p_n^2+2q_n^2}{2p_nq_n} \end{eqnarray}$ , wobei Zähler und Nenner rechts teilerfremd sind und der Zähler zudem ungerade. Es ist demnach $\begin{eqnarray} p_{n+1} &=& p_n^2 + 2q_n^2 \\ q_{n+1} &=& 2p_nq_n \end{eqnarray}$ . Ein geübter Blick erkennt darin $\begin{eqnarray} p_{n+1} \pm q_{n+1}\sqrt{2} = \left( p_n \pm q_n\sqrt{2} \right)^2 \end{eqnarray}$ , mithin also $\begin{eqnarray} p_n \pm q_n\sqrt{2} = \left( p_0 \pm q_0\sqrt{2} \right)^{2^n} = \left( 1 \pm \sqrt{2} \right)^{2^n} \end{eqnarray}$ . Die explizite Darstellung von $\begin{eqnarray} p_n,q_n \end{eqnarray}$ und damit auch $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist dann nur noch ein kleiner Schritt. EDIT: Obwohl ... eigentlich Unsinn: Wenn man auf die Eigenschaft der Teilerfremdheit verzichtet - was man hier getrost tun kann - dann spricht auch nichts dagegen, dieselben Betrachtungen wie oben mit $\begin{eqnarray} a_0=2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} p_0=2,q_0=1 \end{eqnarray}$ anzustellen. Für die Originalfolge ergäbe sich dann abweichend $\begin{eqnarray} p_n \pm q_n\sqrt{2} = \left( 2 \pm \sqrt{2} \right)^{2^n} \end{eqnarray}$ mit i.a. nicht mehr teilerfremden $\begin{eqnarray} p_n,q_n \end{eqnarray}$ .
24.11.2009, 19:10	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gibt es da dann auch eine elegante Methode q_n und p_n auszurechnen? Mein Weg ist nämlich relativ lang... ich bekomme für q_n: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{2\cdot(1+\sqrt{2})^{2^{n+1}}-(1+\sqrt{2})^{2^{n+2}}}{1-8\cdot(1+\sqrt{2})^{2^{n+1}}}} \end{eqnarray}$ in dem Fall a_0=1. Bis denn mathe760 \Edit: ich glaube ich habe mich verrechnet sorry...
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24.11.2009, 19:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte ja nicht gedacht, dass es da noch Schwierigkeiten gibt, aber ich werde eben immer wieder eines besseren belehrt: $\begin{eqnarray} p_n \pm q_n\sqrt{2} = \left( 1 \pm \sqrt{2} \right)^{2^n} \end{eqnarray}$ kann man als Kurzform des simplen 2x2-linearen Gleichungssystems $\begin{eqnarray} p_n + q_n\sqrt{2} &=& \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2^n} \\ p_n - q_n\sqrt{2} &=& \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2^n} \end{eqnarray}$ auffassen, und dessen Lösung sieht gewiss einfacher aus als das, was ich da bei dir lese.
24.11.2009, 19:31	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
ok jaa jetzt ists klar... Danke für deine Geduld... Bis denn mathe760
25.11.2009, 13:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung: Die obigen Betrachtungen (mit Ausnahme der schon im letzten EDIT verworfenen Aspekte der Teilerfremdheit) klappen übrigens generell für das Heron-Verfahren $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{r}{a_n} \right) \end{eqnarray}$ mit positiv reellem $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und beliebigem von Null verschiedenen reellen Startwert $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ . Dann bekommt man durch völlig analoge Betrachtungen $\begin{eqnarray} p_n \pm q_n\sqrt{r} = (a_0 \pm \sqrt{r})^{2^n} \end{eqnarray}$ heraus und damit die explizite Darstellung $\begin{eqnarray} a_n = \sqrt{r} \cdot \frac{(a_0 + \sqrt{r})^{2^n} + (a_0 - \sqrt{r})^{2^n}}{(a_0 + \sqrt{r})^{2^n} - (a_0 - \sqrt{r})^{2^n}} \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} a_0 > 0 \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \sqrt{r} \end{eqnarray}$ ; ist hingegen $\begin{eqnarray} a_0 < 0 \end{eqnarray}$ , dann führt das zu $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} a_n = -\sqrt{r} \end{eqnarray}$ . Kurzum, wie man es (auch ohne explizite Folgenglieddarstellung) vom Heron-Verfahren kennt.
25.11.2009, 16:29	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das war egentlich auch der Ausgangspunkt meiner Frage: Ich wollte zeigen das die Folge gegen sqrt2 konvergiert. Ich wusste zwar, dass man dies sehr gut dadurch zeigen kann, dass die folge streng monoton fallend ist und die Glieder stets >=sqrt2. Ich wollte mit diesem Thread einfach eine weitere Lösungsmöglichkeit gezeigt bekommen, was auch sehr gut gelungen ist, danke dir dafür Bis denn mathe760
25.11.2009, 16:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings wirst du dir abgewöhnen müssen, zu jeder rekursiv gegebenen Folge eine expliziite Darstellung angeben zu wollen. Nur zur Grenzwertbestimmung ist das meist ja auch überhaupt nicht nötig, und oftmals ja auch gar nicht möglich.
25.11.2009, 18:13	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
ok werde ich mir merken, danke Bis denn mathe760

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