Äquivalenz: Äquivalenzrelation - Kongruenz

22.11.2009, 14:11	gothino	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz: Äquivalenzrelation - Kongruenz Hallo, die Aufgabe lautet: Eine Äquivalenzrelation ~ auf einer Gruppe G ist genau dann eine Kongruenz wenn $\begin{eqnarray} \forall x,y,z \in G: x \sim y \Rightarrow xz \sim yz \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} zx \sim zy \end{eqnarray}$ Hinrichtung ist einfach: Kongruenz bedeutet: $\begin{eqnarray} \forall x,x',y,y' \in G: x \sim x', y \sim y' \Rightarrow xy \sim x'y' \end{eqnarray}$ Sei also x~y dann gilt wegen z~z: xz~yz und zx~zy Bei der Rückrichtung bräuchte ich Hilfe, habe folgenden Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} x \sim x' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \sim y' \end{eqnarray}$ dann gilt: $\begin{eqnarray} xy \sim x'y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} yx \sim yx' \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} xy' \sim x'y' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'x \sim y'x' \end{eqnarray}$ Ich denke da sollte sich irgendwas weiter ergeben, seh's aber nicht. Wenn die Gruppe kommutativ wäre wär's einfach, das ist aber kene Voraussetzung? Für Tipps bin ich dankbar lg gothino
23.11.2009, 01:17	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz: Äquivalenzrelation - Kongruenz Hi gothino! Kommutativität habe wir im allgemeinen natürlich nicht, aber es gibt immer nichttriviale Elemente, die miteinander vertauschen. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ . Gruß, Reksilat.
23.11.2009, 20:42	Rone	Auf diesen Beitrag antworten »
dein ansatz ist schon der richtige. deine z sind nur ein bisschen schlecht gewählt. versuch die z so zu wählen, dass du aufgrund der äquivalenzrelation genau auf das schließen kannst was du brauchst. xy~x'y'

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