Pyramiden bestimmt durch Volumen und zwei Punkten

22.11.2009, 14:35

Equester

Pyramiden bestimmt durch Volumen und zwei Punkten

Hi ihr,
Ich wolle euch bitten mal folgende Aufgabe anzuschauen, vllt habt ihr einen Tipp.
Danke im Voraus!

Es seien die Punkte P1=(2,0,0) und P2=(1,1,1) im R³ gegeben.

a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichungen der beiden Ebenen E1 und E2,
die durch die Punkte P1 und P2 gehen und im ersten Oktanten Pyramiden
mit Volumen 50/9 definieren.

b) (Wie groß ist der Abstand der Ebenen zum Ursprung)

c) (Berechnen Sie den Winkel zwischen E1 und E2)

b/c lassen sich erst mit a lösen und ich bin zuversichtlich, das meistern zu können Augenzwinkern

Aber bei a) versteh ich nicht mal die Frage Stellung:

Folgender Ansatz:
Es gibt zwei Pyramiden. Beide gehen durch die Punkte P1 und P2.
Das Volumen einer Pyramide errechnet sich aus
$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} G*h \end{eqnarray*}$
auch müssen die Ebenen die Koordinatenachsen schneiden, also
$\begin{eqnarray*} P1 =A = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} C = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Ebenengleichung muss dann sein:
E1: x=rx1+sx2+tx3

für r,s und t nehm ich den Normalenvektor aus ABxAC?
$\begin{eqnarray*} AB=\begin{pmatrix} 2 \\ -y \\ 0 \end{pmatrix} AC=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber weiter weiss ich nicht? In die Ebenengleichung P2 einsetzen? aber dann
erhalte ich doch nur eine Pyramide? Auch wenn ich annehme, dass der Ursprung
die Spitze bildet und der gespiegelte Punkt (im Bezug zur Ebene) die andere
Spitze, aber dann hab ich nur eine Ebene? und kann keinen Winkel bilden (c)).

Danke an alle die das Lesen xD

22.11.2009, 15:40

riwe

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RE: Pyramiden bestimmt durch Volumen und zwei Punkten
es gibt natürlich deutlich mehr pyramiden im 1. oktanten. aber 2 die dieses volumen mit den koordinatenebenen einschließen smile

mit P(0/p/0) und S(0/0/h) hast du aus dem volumen

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{}p\cdot h=\frac{50}{3} \end{eqnarray*}$

nun bestimmst du (über das kreuzprodukt) einen normalenvektor der ebene in der P1, P und S liegen. damit hast du

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-(2,0,0)^T)\cdot(ph,2h,2p)^T=0 \end{eqnarray*}$

woraus du mit (1) und einsetzen von $\begin{eqnarray*} P_2(1/1/1) \end{eqnarray*}$ eine quadratische (in h symmetrische) gleichung in p bekommst.

zur kontrolle

$\begin{eqnarray*} p_1=5 \end{eqnarray*}$

22.11.2009, 16:56

Equester

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Ahh ich danke dir...ich kann dir zum größten Teil folgen, nur verwirrt mich das
^T? was meinst du damit?

ich hab noch ein weng rumprobiert Augenzwinkern

und ich komm iwie auch auf 5 und 10/3?! xD

22.11.2009, 18:19

riwe

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Zitat:

Original von Equester
Ahh ich danke dir...ich kann dir zum größten Teil folgen, nur verwirrt mich das
^T? was meinst du damit?

ich hab noch ein weng rumprobiert Augenzwinkern

und ich komm iwie auch auf 5 und 10/3?! xD

korrekt

$\begin{eqnarray*} ^T \end{eqnarray*}$ bedeutet transponiert, heißt glaube ich: zeilen und spalten vertauscht

$\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,a_3)^T=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.11.2009, 18:24

Equester

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ahh ty^^

habs dann raus Augenzwinkern

danke für die Hilfe!

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