Konvergenz unendlicher Reihen

22.11.2009, 14:41

dschiff

Konvergenz unendlicher Reihen

Ich soll zeigen, dass die Reihen konvergieren:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{inf} \frac{1}{k^2+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{inf} \frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$
Hab beide mit dem Quotientenkriterium versucht und bekomme jeweils 1 raus, heißt dann wohl das es mit dem QK nicht funktioniert..
Bei der zweiten Reihe hab ich das Wurzelkriterium versucht und kriege am ende den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2/k}} \end{eqnarray*}$ heraus, das geht doch dann für k --> unendlich gegen null. Ist das korrekt oder mach ich was falsch?
Sollte ich die erste Reihe mit dem Majorantenkriterium lösen? Falls ja, bitte helft mir, hab zwar das Prinzip des Kriteriums verstanden, aber nicht wie man es konkret anwendet. Das erscheint mir so oft aus der Luft gegriffen.
Grüße, dschiff

22.11.2009, 14:54

klarsoweit

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RE: Konvergenz unendlicher Reihen

Zitat:

Original von dschiff
Bei der zweiten Reihe hab ich das Wurzelkriterium versucht und kriege am ende den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2/k}} \end{eqnarray*}$ heraus, das geht doch dann für k --> unendlich gegen null. Ist das korrekt oder mach ich was falsch?

In der Tat machst du was falsch. Ich komme zunächst mal auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k^2+1)^{1/k}} \end{eqnarray*}$ , aber das tut der Sache keinen Abbruch. Sowohl dieses als auch dein Ausdruck gehen für k gegen unendlich gegen 1.

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k^2+1} \end{eqnarray*}$ stellt sich die Frage, ob ihr z.B. die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ gezeigt habt.

Frage am Rande: ist das Schulmathe?

22.11.2009, 17:47

dschiff

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RE: Konvergenz unendlicher Reihen
wie kommst du mit dem Wurzelkriterium von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k^2+1)^{1/k}} \end{eqnarray*}$ ? Wo kommt die +1 her? Ok, das ganze geht gegen 1, das hab ich auch rausgefunden. Das bedeutet doch, dass das wurzelkriterium auch nicht hilft.. traurig

kann ich bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k^2+1} \end{eqnarray*}$ einfach sagen, dass es <= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ und da das konvergiert muss auch die Reihe konvergieren?
Antwort zur Frage am Rand: Nein, das ist Studienmathe (Physik).

Sonst einer einen Tipp für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2009, 19:12

klarsoweit

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RE: Konvergenz unendlicher Reihen

Zitat:

Original von dschiff
wie kommst du mit dem Wurzelkriterium von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k^2+1)^{1/k}} \end{eqnarray*}$ ? Wo kommt die +1 her?

Ich hatte deinen Text falsch gelesen. Ich dachte, das bezog sich noch auf die erste Summe.

Zitat:

Original von dschiff
kann ich bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k^2+1} \end{eqnarray*}$ einfach sagen, dass es <= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ und da das konvergiert muss auch die Reihe konvergieren?

So ist es. Man nennt das auch Majorantenkriterium.

Zitat:

Original von dschiff
Sonst einer einen Tipp für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$ ?

Betrachte einfach die Summe, bei der du den Betrag der Summanden nimmst. Wenn die Summe mit den Beträgen konvergiert, dann konvergiert auch die ursprüngliche Summe. Alternativ kannst du auch das Leibnizkriterium nehmen.

22.11.2009, 21:31

dschiff

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Ok.
Hab jetzt bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k^2+1} \end{eqnarray*}$ das Majorantenkriterium benutzt. Hab als erstes nochmal bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} ~f(x)=\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ existiert, also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe (Integralkriterium). f(x) muss natürlich monoton fallend sein, aber das ist ja offensichtlich. Dann hab ich also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}}\geq\frac{1}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$ ,
folglich muss auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Jetzt zur anderen Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$
Mit dem Leibnizkriterium habe ich $\begin{eqnarray*} ~a_k=\frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ , dass ist offensichtlich eine monotone Nullfolge und daher konvergiert die alternierende, unendliche Reihe.

Ist das jetzt im großen und ganzen korrekt, oder sind noch grobe Fehler drin?

Großes Danke schonmal an dich klarsoweit!!

22.11.2009, 22:59

Mystic

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Zitat:

Original von dschiff
Jetzt zur anderen Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$
Mit dem Leibnizkriterium habe ich $\begin{eqnarray*} ~a_k=\frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ , dass ist offensichtlich eine monotone Nullfolge und daher konvergiert die alternierende, unendliche Reihe.

Ist das jetzt im großen und ganzen korrekt, oder sind noch grobe Fehler drin?

Ja, gewaltige Fehler...Die Reihe beginnt mit 1/0, ist also, wie mir scheint, gar nicht definiert... verwirrt

23.11.2009, 00:09

dschiff

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Ja, gewaltige Fehler...Die Reihe beginnt mit 1/0, ist also, wie mir scheint, gar nicht definiert... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$ <---- Das war gemeint und überhaupt sollte k immer bei 1 anfangen auch bei der anderen.. smile

verpeilt

23.11.2009, 14:56

Mystic

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Aha, ok... Übrigens würde ich da nicht mit Integralkriterium, Leibnizkriterium oder ähnlichem argumentieren, sondern einfach das Majorantenkriterium mehrmals anwenden, nämlich

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{k=2}^\infty \frac 1 {k(k-1)} \end{eqnarray*}$

konvergiert (Teleskoptrick!),

daher konvergiert auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2} \end{eqnarray*}$

nach dem Majorantenkriterium, daher erst recht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k} {k^2} \end{eqnarray*}$

da selbige Reihe ja sogar absolut konvergiert und natürlich auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {1+k^2} \end{eqnarray*}$

wieder nach dem Majorantenkriterium...

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