Hilfe bei Grenzwertaufgabe!

22.11.2009, 16:37

Hamsterchen

Hilfe bei Grenzwertaufgabe!

Hallo

ich habe ein kleines Problem bei einer Grenzwertaufgabe. Ich kenne den Grenzwert zwar, aber habe keine Ahnung wie man drauf kommt (hab ihn durch ausprobieren + Inet rausgefunden)

$\begin{eqnarray*} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n+1} }-1 \right) \end{eqnarray*}$

Als Grenzwert kommt da 1/2 raus, aber ich komme da irgendwie durch Überlegungen nur auf 0.
Ich hatte mir das so gedacht: Der 2. Summand unter der Wurzel geht gegen 0, dann steht da nur noch Wurzel aus 1, ist also 1. Das dann -1 ist 0. Und Null mal das n vorne ist immernoch 0.

Kann mir da jemand sagen wie das richtig geht? ^^

Vielen Dank schonmal

LG
Hamsterchen

22.11.2009, 16:53

tmo

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Das Problem ist halt, dass n vor der Klammer unendlich groß wird. Die Klammer geht zwar gegen 0, aber dann hast du den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 \end{eqnarray*}$ , über den du im Allgemeinen nichts aussagen kannst.

Man kann den Grenzwert leicht ablesen, wenn man mit $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{1+\frac{1}{n-1}}+1\right) \end{eqnarray*}$ erweitert und entsprechend umformt.

22.11.2009, 16:58

Hamsterchen

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ok werd ich gleich mal versuchen

Danke schonma

LG
Hamsterchen

22.11.2009, 17:04

Mystic

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Eine elegante Lösung besteht auch darin, dass man den Ausdruck umformt zu

$\begin{eqnarray*} \frac n {n+1} \cdot \frac {\sqrt{1+\frac 1 {n+1}}-1}{(1+\frac 1 {n+1})-1} \end{eqnarray*}$

und den zweiten Bruch als Differenzenquotient einer sehr bekannten Funktion an der Stelle x=1 deutet... Der Nachteil an der Sache ist allerdings, dass dir kein Mensch glauben wird, dass du da von alleine draufgekommen bist... Augenzwinkern

22.11.2009, 17:16

Hamsterchen

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OK habs mal versucht, bin mir aber total unsicher ^^ (bei der Erweiterung muss doch aber unter der Wurzel im Nenner auch n+1 stehen oder nich???)

Hab da jetzt das da stehen nach Erweiterung:

$\begin{eqnarray*} \frac{n\left(1+\frac{1}{n+1}+\sqrt{1+\frac{1}{n+1} }-\sqrt{1+\frac{1}{n+1}}-1\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{n+1}+1 } } \end{eqnarray*}$

Die beiden Wurzeln im Nenner und die 1 und -1 kürzen sich weg, dann steht da noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n}{n+1} }{\sqrt{1+\frac{1}{n+1} }+1} \end{eqnarray*}$

Das jetzt etwas umformen...

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n+1)(\sqrt{1+\frac{1}{n+1} }+1 } \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich doch aber n gegen oo laufen lassen und den 2. Faktor im Nenner zu 2 "zusammen fassen" oder? Wenn ja dann würde da dann stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*1}{n*(2+\frac{2}{n} } \end{eqnarray*}$

Das n kürzt sich weg, hinten das 2/n geht gegen 0 und dann steht da nur noch 1/2

stimmt das dann so???

22.11.2009, 17:19

tmo

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Erstmal ist es richtig, dass da ein + statt ein - stehen muss. Hab ich mich verschrieben.

Und dann hättest du hier schon aufhören können:

Zitat:

Original von Hamsterchen
Die beiden Wurzeln im Nenner und die 1 und -1 kürzen sich weg, dann steht da noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n}{n+1} }{\sqrt{1+\frac{1}{n+1} }+1} \end{eqnarray*}$

Nun einfach noch die Grenzwertsätze benutzen. Der Zähler geht gegen 1. Der Nenner geht gegen 2. Fertig.

22.11.2009, 17:26

Mystic

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Auch auf Standardformeln wie

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

sollte man an der Hochschule nicht mehr hinweisen müssen..

22.11.2009, 17:32

Hamsterchen

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OK gut alles klar

Vielen Dank für die schnellen Antworten =)

Schönen Abend noch an alle

LG
Hamsterchen

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