Ungleichung (Normen)

05.10.2006, 22:34

kingskid

Ungleichung (Normen)

Hi mathefreaks!

$\begin{eqnarray*} ||.|| \end{eqnarray*}$ sei eine induzierte Norm. Nun soll man zeigen, dass für jede Matrix A mit $\begin{eqnarray*} || A|| < 1 \end{eqnarray*}$ diese ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+ ||A||} \leq || (I-A)^{-1}|| \leq \frac{1}{1-||A||} \end{eqnarray*}$

erst eine frage vorne weg, kann man sagen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} ||(I-A)^{-1}|| = ||(I-A)||^{-1} \end{eqnarray*}$ ??

und dann habt ihr einen tipp für mich, wie ich die ungleichung beweisen kann? hab schon versucht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+ ||A||} \end{eqnarray*}$ umzuformen und irgendwie abzuschätzen, aber ich komm beim besten willen nicht zu der rechten seite...

hab versucht für 1 die Norm der Einheitsmatrix einzusetzen, den für induzierte Matrixnormen gilt ja ||I|| = 1, aber das hilft auch nicht so viel bis jetzt... traurig

viele grüße
kingskid

05.10.2006, 23:21

Mazze

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Zitat:

erst eine frage vorne weg, kann man sagen, dass gilt:

Du kannst mit Hilfe der Submultiplikativität

$\begin{eqnarray*} || AB || \leq ||A||||B|| \end{eqnarray*}$

zeigen das,

$\begin{eqnarray*} ||(I - A)||^{-1} \leq ||(I - A)^{-1}|| \end{eqnarray*}$

Ob nun

$\begin{eqnarray*} ||(I - A)||^{-1} \geq ||(I - A)^{-1}|| \end{eqnarray*}$

gilt (ob es überhaupt gilt), konnte ich so schnell nicht zeigen, aber vielleicht reicht dir schon obige Ungleichung.

edit:

Ich hab grad rausgekriegt das die obige Ungleichung (etwas umformuliert) für die linke Seite der Ungleichungskette schon reicht, zeige einfach das

$\begin{eqnarray*} 1 + ||A|| \geq ||(I - A)^{-1}||^{-1} \geq 1 - || A || \end{eqnarray*}$

Die Dreiecksungleichung und obige Ungleichung, wenn du sie gezeigt hast Helfen dir! Wie es weiter geht schaff ich heut vielleicht nicht mehr Augenzwinkern

edit2:

als Hinweis noch

$\begin{eqnarray*} || I - A || = || I + (-A) || \leq ||I|| + ||-A|| = ||I|| + ||A|| \end{eqnarray*}$

denk dran , dies alles ist bisher nur für den ersten Schritt

$\begin{eqnarray*} 1 + ||A|| \geq ||(I - A)^{-1}||^{-1} \end{eqnarray*}$

benutzt worden.

06.10.2006, 10:00

mathemaduenn

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RE: Ungleichung (Normen)
Hallo Kingskid,
Für die 2. Ungleichung hilft sicher die http://de.wikipedia.org/wiki/Neumann-Reihe weiter. Die gibt auch die Existenz von (I-A)^-1
viele Grüße
mathemaduenn

06.10.2006, 18:00

kingskid

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hallo!
vielen dank euch beiden für die hilfe! mit den richtigen tipps macht das richtig spaß smile

also zum ersten teil: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+ ||A||} \leq ||(I-A)^{-1}|| \end{eqnarray*}$

durch äquivalente umformungen enthält man:
$\begin{eqnarray*} 1 \leq ||(I-A)^{-1} || (1+ ||A||) \end{eqnarray*}$ , deshalb langt es zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ||(I-A)^{-1}||^{-1} \leq 1 + ||A|| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} ||(I-A)^{-1}||^{-1} \leq ||[(I-A)^{-1}]^{-1}||=||I-A|| \leq ||I|| + ||A|| = 1+ ||A|| \end{eqnarray*}$

stimmt das so?
dann kann man das wieder äquivalent zurückumformen (s.oben) und erhält die ursprüngliche behauptung. hab ich das richtig verstanden?

bleibt nur noch die frage zu den sachen die ich nun verwendet habe. einmal: $\begin{eqnarray*} ||(I-A)||^{-1} \leq ||(I-A)^{-1}|| \end{eqnarray*}$
beweis dazu:
$\begin{eqnarray*} ||I-A|| = ||(I-A)(I-A)(I-A)^{-1}|| \leq ||I-A|| ||I-A|| ||(I-A)^{-1}|| \end{eqnarray*}$
d.h.: $\begin{eqnarray*} 1 \leq ||(I-A)|| || (I-A)^{-1}|| \end{eqnarray*}$ und daraus folgt die behauptung, wenn man ||I-A|| auf die andere seite bringt. =)

die andere sache ist das mit der dreiecksungleichung, also dass
$\begin{eqnarray*} ||I-A|| \leq ||I|| + ||-A|| = ||I|| + ||A|| \end{eqnarray*}$ gilt. Warum genau gilt $\begin{eqnarray*} ||A|| =||-A|| \end{eqnarray*}$ ? ist das wegen der Normeigenschaft? also praktisch das gleiche wie wenn man sagt |3|=|-3|, oder?

okay, dann zum zeiten teil:
$\begin{eqnarray*} ||(I-A)^{-1}|| \leq \frac{1}{1-||A||} \end{eqnarray*}$

der satz von der neumannschen reihe sagt ja, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ A^m = I + A + A^2 + ... \end{eqnarray*}$ genau dann konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} \rho(A) < 1 \end{eqnarray*}$ und weiter existiert dann $\begin{eqnarray*} (I-A)^{-1} (=\sum_{k=1}^\infty~ A^m) \end{eqnarray*}$

d.h. ich kann schreiben:
$\begin{eqnarray*} || (I-A)^{-1} || = || I + A + A^2 + ... || \leq 1 + ||A|| + ||A^2|| + || A^3|| + ... \end{eqnarray*}$
hmm verwirrt

nur wie komm ich damit zur rechten seite?

viele grüße
kingskid

edit: neumannsche reihe verbessert, sollte bis unendlich gehen...

06.10.2006, 22:49

Mazze

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Zitat:

ist das wegen der Normeigenschaft?

Ja, $\begin{eqnarray*} ||cA|| = |c|||A|| \end{eqnarray*}$

Zitat:

stimmt das so?
dann kann man das wieder äquivalent zurückumformen (s.oben) und erhält die ursprüngliche behauptung. hab ich das richtig verstanden?

So kann mans auch machen. Aber das hier

$\begin{eqnarray*} 1 + ||A|| \geq ||(I - A)^{-1}||^{-1} \end{eqnarray*}$

reicht schon, da Du äquivalent umgeformt hast, weshalb das zurück umformen ansich nicht mehr nötig ist.

Zum zweiten Teil muss ich selbst noch überlegen.

07.10.2006, 00:18

kingskid

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okay, vielen dank für deine erklärungen smile

ja der zweite teil scheint bissle arg tricky zu sein...

07.10.2006, 08:45

mathemaduenn

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Hallo,
Für den 2. Teil sieht's doch auch nicht schlecht aus. Die Formel erinnert doch sehr an die http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe wenn man vorher nochmal die Submultiplikativität der Norm ausnutzt sollte sich das machen lassen.
viele Grüße
mathemduenn

07.10.2006, 10:04

kingskid

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Hallo Mathemaduenn!

hm, wenn du das sagst... mir ist nur noch nicht klar, wo ich die submultiplikativität anwenden kann, denn bis jetzt hab ich ja noch gar kein produkt... ? verwirrt

viele grüße
kingskid

08.10.2006, 04:06

mathemaduenn

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Hallo kingskid,
Da stehen doch jede Menge Produkte:
$\begin{eqnarray*} A^2=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^3=? \end{eqnarray*}$
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn

08.10.2006, 11:29

Mazze

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Ums genauer zu machen:

es ist $\begin{eqnarray*} ||A|| < 1 \end{eqnarray*}$ und

jetzt überleg dir mal was da für ne Reihe steht Augenzwinkern

als Tip (wieder submultiplikativität):

$\begin{eqnarray*} ||A^n|| \leq ||A||^n \end{eqnarray*}$

08.10.2006, 11:33

kingskid

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Hi Mathemaduenn,

Idee!

ahh, perfekt - jetzt check ich wie du dasl gemeint hast smile

$\begin{eqnarray*} || (I-A)^{-1} || = || I + A + A^2+ A^3 ... || \leq 1 + ||A|| + ||A^2 || + ||A^3|| + .... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + ||A|| + ||A||^2 + ||A||^3 + ||A||^4 + ... = \sum_{k=1}^\infty~ ||A||^k = \frac{1}{1-||A||} \end{eqnarray*}$ , da bei den VSS ja ||A||<1 gegeben ist. cool.
stimmt so, oder?

viele grüße & vielen dank
kingskid =)

08.10.2006, 11:35

kingskid

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hi Mazze!

yea, die geometrische reihe... =)

vielen dank!

lg kingskid

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Ungleichung (Normen)

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