Nicht-Borel Menge (ohne Auswahlaxiom)

22.11.2009, 18:10

goens

Nicht-Borel Menge (ohne Auswahlaxiom)

Hallo. Ich wollte wissen ob einer einen Beispiel für eine Nicht-Borell Menge (d.h. eine Menge die nicht Element der Borelschen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist.) Uns wurde ein Beispiel für eine nicht-messbare Menge vorgestellt (was sofort auch keine Borelmenge ist), aber dazu musste das Auswahlaxiom benutzt werden (mit äquivalenzklassen von elementen die sich um eine Rationale Zahl unterscheiden auf [0,1). ) Wenn jemand einen Beispiel von einer nicht-messbaren Menge der das Auswahlaxiom nicht benutzt wäre das noch besser, aber ich eine nicht-Borel Menge würde mir auch reichen smile

22.11.2009, 19:00

system-agent

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Du betrachtest also die Borel-Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Diese Mengen die darin enthalten sind, sind gerade nach Definition die messbaren Mengen.

Ohne dir jetzt eine Begründung liefern zu können:
Ich habe gelesen, dass man für solch ein Beispiel immer das Auswahlaxiom braucht, dh. ohne Auswahlaxiom keine nicht Borel-messbare Menge ["Grundkurs Analysis 2" von Klaus Fritzsche].

22.11.2009, 21:24

goens

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Zitat:

Original von system-agent
Du betrachtest also die Borel-Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Diese Mengen die darin enthalten sind, sind gerade nach Definition die messbaren Mengen.

Hmm naja, das kann die Borel-Sigma-Algebra über $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein, und die Messbare Mengen $\begin{eqnarray*} M \subset Pot(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ . Aber diese zwei Mengen sind nicht gleich, aus Definition sicherlich nicht, und uns wurde gesagt, die würden sogar unterschiedliche Mächtigkeit haben.

Zitat:

Ohne dir jetzt eine Begründung liefern zu können:
Ich habe gelesen, dass man für solch ein Beispiel immer das Auswahlaxiom braucht, dh. ohne Auswahlaxiom keine nicht Borel-messbare Menge ["Grundkurs Analysis 2" von Klaus Fritzsche].

uns wurde das auch gesagt, wobei damit Messbare mengen gemeint waren. Wie das mit Borelmengen aussieht ist gerade meine Frage. Wär aber eigentlich trotzdem interessant zu verstehen, warum man daus Auswahlaxiom braucht.

23.11.2009, 14:34

system-agent

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Ja, man braucht nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , man kann auch mehr Dimensionen haben.
Zunächst sind per Definition alle messbaren Mengen alle diese, die in der betrachteten Sigma-Algebra leben.
Für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ betrachtet man normalerweise die Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und diese wird nach Definition von den offenen Mengen erzeugt, das heisst von der Topologie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
Sicher gilt auch $\begin{eqnarray*} M\subset \text{Pot} (\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ .

Um zu zeigen dass nicht Gleichheit gilt, dann muss man eine Menge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ finden die nicht messbar ist.
Glaubt man nun dem Buch von Fritzsche, dann gilt
$\begin{eqnarray*} M\neq\text{Pot}(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn man das Auswahlaxiom akzeptiert.

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