Doppelpost! Basis für Unteräume

22.11.2009, 18:31

Smaartis

Basis für Unteräume

Ich habe folgendes Beispiel zu lösen:

a) Bestimmen Sie eine Basis für den Unterraum U des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ , der durch

$\begin{eqnarray*} U={{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \in \mathbb R^{4} | \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} }} \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

b) Bestimmen Sie die Basis für den Unterraum U des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{5} \end{eqnarray*}$ , der durch

$\begin{eqnarray*} U={ (x_1,...,x_5) \in \mathbb R^{5}| \sum_{k=1}^5~x_i=0 } \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

-----

Das erste Beispiel ist einfach zu lösen. Aber ich habe mit der zweiten meine Schwierigkeiten. Wie fang ich da überhaupt an?

22.11.2009, 18:39

Jacques

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Hallo,

Der Unterraum bei b) hat ja die Dimension 4. Du nimmst einfach 4 linear unabhängige Vektoren von U, die bilden dann eine Basis.

Als Tipp:

$\begin{eqnarray*} (1, 0, 0, 0, -1) \in U \end{eqnarray*}$

22.11.2009, 18:43

Elvis

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RE: Basis für Unteräume
Das zweite Beispiel ist noch einfacher als das erste.
$\begin{eqnarray*} U=\{ x\in \mathbb R^5 | \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = 0 \} \end{eqnarray*}$

22.11.2009, 18:52

Smaartis

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@ Jacques
Redest du von a) oder b)?

a) hat doch die dimension 4, oder?

bei a) habe ich folgende Basis rausbekommen: ( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -4 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Das stimmt doch, oder?

Und kannst du mir deinen Tipp nochmal erklären? Mir sagt der grad gar nix... verwirrt

22.11.2009, 18:55

Smaartis

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@ elvis
genügt es da einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
in die senkrechte zu stellen, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2009, 18:57

Elvis

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Nein, wenn du weißt, wie die Aufgabe a) gelöst wird, kannst du auch die Aufgabe b) lösen, nämlich genauso.

Du hattest behauptet, a) sei einfach, aber das was du dann als Lösung angibst, ist keine.

Richtig guter Tipp: probier's mal mit Gauß.

22.11.2009, 19:04

Smaartis

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@ elvis
Bei a) hatte ich ja 4 Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss ich mir für b) also selbst irgendwelche beliebigen l.u. Vektoren suchen? Egal aus welchen Raum sie kommen?

22.11.2009, 19:07

Jacques

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Re:

Zitat:

Original von Smaartis

Muss ich mir für b) also selbst irgendwelche beliebigen l.u. Vektoren suchen? Egal aus welchen Raum sie kommen?

Es müssen natürlich Vektoren aus diesem Raum, also aus U sein. Du weißt doch, was eine Basis ist: ein minimales Erzeugendensystem.

22.11.2009, 19:08

Elvis

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Stopp. Alles zurück auf Null. Das wird sonst nix. Bitte Gauß'sches Verfahren anwenden, bis geeignete Matrix erreicht ist, dann freie Variable wählen und die gebundenen Variablen aus der Matrix ablesen. Basis ergibt sich, indem man jeweils genau eine freie Variable 1, die anderen freien Variablen 0 setzt.
Das Beispiel b) ist deshalb so einfach, weil der Gauß'sche Algorithmus schon fertig ist.

22.11.2009, 19:48

Smaartis

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a)

$\begin{eqnarray*} U={{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \in \mathbb R^{4} | \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} }} \end{eqnarray*}$

-----------

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich dann folgende matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & -4& 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4:=t<br /> x_3:=s<br /> x_2=-4s+2t<br /> x_1=2s-3t \end{eqnarray*}$

wenn ich dann t=1 und s=0 setze ergibt sich für $\begin{eqnarray*} x_1=-3, x_2=2,x_3=0, x_4=1 \end{eqnarray*}$

ist das nun meine Basis?

23.11.2009, 07:35

kiste

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