Beweis: Punkte X einer Kugel

22.11.2009, 20:10	Garfild	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Punkte X einer Kugel Hallöchen! Ich hoffe, dass mir einer helfen kann: habe folgendes Problem: Ich soll beweisen, dass die Punkte, die vom Ursprung des Raumes doppelt so weit entfernt sind wie von einem Punkt A, auf einer Kugel mit M und Radius r liegen. Dabei gilt: m= 4/3 a und r= 2/3 \|a\| (weiß jetzt leider nicht, wie ich die Pfeile auf die Buchstaben bekomme, weil das alles Vektoren sind) Ich weiß dass mein Ansatz \|OX\|= 2* \|AX\|ist und dass ich dann noch quadratisch ergänzen muss.. hab schon alles durchprobiert. am Ende bzw. mein Ziel ist, dass (x-4/3a)²= 4/9 a² rauskommt. Bitte helft mir! Vielen vielen Dank!
23.11.2009, 07:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind $\begin{eqnarray} \vec{x}, \vec{a} \end{eqnarray}$ die Ortsvektoren der Punkte $\begin{eqnarray} X,A \end{eqnarray}$ , so kannst du folgendermaßen rechnen: $\begin{eqnarray} \left\| \overrightarrow{OX} \right\| = 2 \left\| \overrightarrow{AX} \right\| \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\| \overrightarrow{OX} \right\|^2 = 4 \left\| \overrightarrow{AX} \right\|^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{OX}^{\, 2} = 4 \, \overrightarrow{AX}^{\, 2} \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{x}^{\, 2} = 4 \left( \vec{x} - \vec{a} \right)^2 \end{eqnarray}$ Und jetzt ausmultiplizieren und auf die Form $\begin{eqnarray} \vec{x}^{\, 2} + p \, \vec{a} \vec{x} = q \end{eqnarray}$ bringen. Dann quadratisch ergänzen. Diese Kugel müßte man wohl sinngemäß Kugel des Apollonios nennen.
23.11.2009, 17:41	Garfild	Auf diesen Beitrag antworten »
hey hey! vielen vielen Dank! das hat ich ja schon alles gemacht gehabt und hab gerechnet und gerechnet und war schon fast am verzweifeln.. und jetzt seh ich dass ich nur einen doofen fehler gemacht hab hab nämlich immer vergessen die 2 zu quadrieren! vielen DAnk

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