Eulersche Zahl nach oben beschränkt/ Grenzwert x einer Folge bestimmen

22.11.2009, 20:26

Sete

Eulersche Zahl nach oben beschränkt/ Grenzwert x einer Folge bestimmen

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$ ist nach unten durch 2 und nach oben durch 4 beschränkt.
Meine Frage ist wie kann ich die Beschräntheit nach oben zeigen.
Nach unten ist es ja relativ einfach.
Nach oben sieht das bei mir so aus.
$\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n} )^{n} = \sum_{k=1}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} (\frac{1}{n})^k = \sum_{k=1}^n~\frac{n!}{(n-k)!k!}*\frac{1}{n}^k\leq 1 \end{eqnarray*}$
Aber das scheint mir irgendwie nicht ganz richtig^^
Brauche ich dafür das n+1te Folgeglied? Ein kleiner Schubser in die richtige Richtung würde schon reichen smile

So und das zweite viel größere Problem.
Sei $\begin{eqnarray*} 0<a\in \mathbb R . a_n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Folge mit $\begin{eqnarray*} a_0=a a_n+_1 =1/2(a_n+\frac{a}{a_n}) \end{eqnarray*}$

Also da die Folge konvergiert bedeutet das doch, das
Wir sollen annehmen das die Folge konvergiert und den Grenzwert x bestimmen.
Hinweis ist. Wir sollen die Folge a_n*a_n+_1 n\in \mathbb N betrachten.

$\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty } a_n=\lim_{n \to infty} a_n+_1 \end{eqnarray*}$

Somit wäre $\begin{eqnarray*} a_n = a_n+_1 \end{eqnarray*}$ also nach limes Betrachtung. Nun verwende ich den Hinweis.

$\begin{eqnarray*} a_n+_1 =1/2(a_n+\frac{a}{a_n}) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} a_n =1/2(a_n+\frac{a}{a_n}) \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann ausrechne erhalte ich für a=2. Und irgendwie sagt mir das, dass ich auf dem vollkommen falschen weg bin.

Das einzige was ich fast sicher weiß ist, dass wenn der Grenzwert x ist $\begin{eqnarray*} a_n\Rightarrow x \end{eqnarray*}$ läuft womit der $\begin{eqnarray*} |a_n-x|<e \end{eqnarray*}$ sein muss. Jedoch fehlt mir gerade jeglicher Ansatz. Bin schon ziemlcih lange am grübeln und mir würde schon ein Tipp in die Richtige Richtung reichen, weil ich die Aufgabe natürlich größtenteils gerne selber lösen würde smile

Danke im vorraus.

23.11.2009, 16:20

Sete

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RE: Eulersche Zahl nach oben beschränkt/ Grenzwert x einer Folge bestimmen
hat keiner einen Weg? unglücklich

23.11.2009, 20:41

nane

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RE: Eulersche Zahl nach oben beschränkt/ Grenzwert x einer Folge bestimmen
Hallo!

Glaube hier im Forum gilt zwei Fragen (zwei Aufgaben) =2 verschiedene Postings - zumal die Aufgaben nichts miteinander zu tun haben.

Zitat:

Original von Sete
So und das zweite viel größere Problem.
Sei $\begin{eqnarray*} 0<a\in \mathbb R . a_n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Folge mit $\begin{eqnarray*} a_0=a a_n+_1 =1/2(a_n+\frac{a}{a_n}) \end{eqnarray*}$

Also da die Folge konvergiert bedeutet das doch, das

Wichtig ist das die Konvergenz wirklich nachgewiesen werden muss (beschränkt und monoton ist hier das Kriterium der Wahl)
Da die Folge nich eindeutig erkennbar ist gehe ich davon aus, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{a}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Für die GW - bestimmung..

Zitat:

sollen wir annehmen, dass die Folge konvergiert und den Grenzwert x bestimmen.
Hinweis ist. Wir sollen die Folge $\begin{eqnarray*} a_n*a_{n+1}\quad (n\in \mathbb N) \end{eqnarray*}$ betrachten.

(edit von nane): $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n \to \infty } a_n=\lim_{n \to \infty} a_n+_1 \end{eqnarray*}$

Somit wäre $\begin{eqnarray*} a_n = a_n+_1 \end{eqnarray*}$ also nach limes Betrachtung. Nun verwende ich den Hinweis.

$\begin{eqnarray*} a_n=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist doch Mumpitz unglücklich

. Nur die Grenzwerte sind doch gleich. Darum ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}(a_n+\frac{a}{a_n}) \end{eqnarray*}$

also ???

mFg nane

PS: tiefstellen von Argumenten. Lehrer

Der Latex-Befehl zum tiefstellen ist a_{tiefzustellender Ausdruck=A}. Ist A nur ein "singel"-Argument setz Latex die geschweiften Klammern automatisch und sie können weggelassen werden. Also besser a_{n+1} für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ zwecks Erhöhung der Lesbarkeit verwenden.

23.11.2009, 21:00

Felix

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Zur Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass

a) Die Folge $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$ monoton fällt.

b) $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n < (1 + \frac {1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.

lg

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