Basen, Vektorräume und Dimensionen

22.11.2009, 22:57

NullMultiplikation

Basen, Vektorräume und Dimensionen

Hallo,

ich bin das erstemal hier und bitte dies zu berücksichtigen, falls ich irgendetwas falsch machen sollte. Ich habe so meine Probleme mit den Vektoren und quälte mich mit Hilfe von Skript und Internet durch einige Aufgaben. Ich hoffe man kann hier über mein Lösung mal drüberschauen und mir eventuell Tipps und Hilfestellung geben.

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Bestimmen Sie die Dimension und Basen der folgenden Untervektorräume des R4

// Mein Lösungsansatz im Allgemeinen: Suche potenzielle Vektoren, die die Basis bilden könnten - Überprüfe diese auf lineare Unabhägigkeit - Schmeiße lineare abhängige vektoren wieder raus -> Rest bildet dann die Basis. => vermute aber, dass dies auch geschickter/ anders gehen muss, da wenn ich zum Beispiel einen Basisvektor nicht von vornherein finde fehlt dieser und wird von mir nicht berücksichtigt!

a) Alle Vektoren der Form (a, b, c, 0) mit a, b, c aus R.
Basis: (1 0 0 0), (0 1 0 0), (0 0 1 0)
Dimension: 3 (Ist diese wirklich immer die Anzahl der Basisvektoren?)

b)Alle Vektoren der Form (a, b, a-b, a+b) mit a, b, aus R.
Basis: (1 0 1 1), (0 1 -1 1)
Dimension: 2

c) Alle Vektoren der Form (a, a, a, a) mit a aus R.
Basis: (1 1 1 1)
Dimension: 1
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Fügen Sie zu den Vektoren
v1 = (1,?4, 2,?3), v2 = (?3, 8,?4, 6)zwei Standardeinheitsvektoren so hinzu, dass das System der vier Vektoren eine Basis des R4 bildet.

//Mein Ansatz: Habe aus den gegebenen Vektoren eine reduzierte Zeilenstufenmatrix erstellt. Wobei sich ergeben hat, dass Zeile 2 und 4 = 0 ergaben und ich dann für diese Zeilen einfach die Standardvektoren eingesetzt habe.

So habe ich als Ergebnis:
Basis: (1 -4 2 -3), (0 1 0 0), (-3 8 -4 6), (0 0 0 1)
Dimension: 4

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Geben Sie eine Basis des Zeilenraums der folgenden Matrix an:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\ 3 & - 2 & 1 & 4 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

//Hier habe ich einfach auf lineare Unabhägigkeit geprüft.

Mein Ergebnis: Basis: (1 3 -1 2), (4 -2 0 3) die anderen sind linear abhängig.

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Wahr oder falsch? Begründen Sie! Es sei K ein beliebiger Körper.

//Die Aufgabe bereitet mir am meisten Bauchschmerzen. Bei a) und b) habe ich nicht einmal eine Idee :/

a) Ist A 2 Km×n mit m > n, so bilden die Zeilen von A keine Basis des K^n.

b) Der Körper K als K-Vektorraum über sich selbst betrachtet hat nur die trivialen Untervektorr¨aume {0} und K.

c) Ein K-Vektorraum V hat immer mehr als eine Basis.
// Kann man hier Annehmen, dass wenn ich einen Vektorraum als Nullvektor besitze, dass dieser als einziger Vektor im Vektorraum liegt? Somit wäre dies dann ein Gegenbeispiel für die Behauptung, oder etwa nicht? Es gäbe dann ja nur die Basis mit dem Nullvektor.

Noch eine Zusätlich Frage die sich mir beiläufig stellte: Wo ist eigentlich der Unterschied zwischen Spann und Basis?

Vielen Dank schonmal für jegliches Bemühen!

Viele Grüße

23.11.2009, 17:04

Reksilat

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Grüß Dich und willkommen im Matheboard. Wink

Also Deine Lösungen bei der ersten Aufgabe stimmen. Die Dimension eines Unterraums ist die Anzahl der Elemente einer Basis - so ist der Begriff Dimension definiert.

Zitat:

Fügen Sie zu den Vektoren
v1 = (1,?4, 2,?3), v2 = (?3, 8,?4, 6)zwei Standardeinheitsvektoren so hinzu, dass das System der vier Vektoren eine Basis des R4 bildet.

Das Fragezeichen heißt Minus, oder?

Zitat:

Wobei sich ergeben hat, dass Zeile 2 und 4 = 0 ergaben

Zeile oder Spalte? Müsste nicht auch Spalte 3 Null werden?
Ansonsten richtig.

Die dritte Aufgabe ist auch korrekt gelöst. Freude

Wahr oder falsch:
a) Wie viele Zeilen hat A? Wie viele Elemente hat eine Basis des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ?

b) Gib mal eine Basis dieses Vektorraums an. Dann sieht man die Lösung recht schnell.

c) Ich nehme an, dass Du den Vektorraum meinst, der nur aus dem Nullvektor besteht. Nun, die Idee ist richtig, nur die Basis stimmt eben nicht.
Dies liegt daran, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{\vec{0}\} \end{eqnarray*}$ nicht linear unabhängig ist, man kann schließlich eine nichttriviale Darstellung der Null finden: es ist $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot \vec{0}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} \lambda\neq 0 \end{eqnarray*}$

Hier müssen wir uns der Definition des Erzeugnis/Spanns eine Menge von Vektoren zuwenden. Dazu sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$

1. Variante: $\begin{eqnarray*} \langle M\rangle=\left\{\sum_{i=0}^n\lambda_iv_i|n\in\mathbb{N},\lambda_i\in K,v_i\in M\right\} \end{eqnarray*}$
2. Variante: $\begin{eqnarray*} \langle M\rangle=\bigcap_{U\text{ ist Unterraum von }V,M\subseteq U}U \end{eqnarray*}$ , also der Durchschnitt über alle Unterräume, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten.

Man kann zeigen, dass beide Versionen äquivalent sind und bei beiden Versionen sieht man auch, dass der Nullraum von der leeren Menge erzeugt wird. Bei der zweiten Version etwas deutlicher, und bei der ersten muss man sich nur klar machen, dass eine Summe über null Summanden eben den Nullvektor ergibt.

Natürlich wird der Nullraum auch von $\begin{eqnarray*} \{\vec{0}\} \end{eqnarray*}$ erzeugt, aber diese Menge ist eben nicht mehr linear unabhängig und insofern auch keine Basis. Die einzige Basis des Nullraums ist die leere Menge.

Eine Basis ist:
- eine maximal linear unabhängige Menge
- ein minimales Erzeugendensystem
- ein linear unabhängiges Erzeugendensystem

Diese Definitionen sind äquivalent und deshalb ist jede Basis natürlich auch ein Erzeugendensystem, spannt also den entsprechenden Raum auf. Nur andersherum gibt es eben auch Erzeugendensysteme, die keine Basis sind.

Gruß,
Reksilat.

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