Integration (zweimal, oder wie löse ich das?)

23.11.2009, 17:06

Lemoncake

Integration (zweimal, oder wie löse ich das?)

Hi,

ich muss hier eine Gleichung lösen und zwar die folgende:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = \sqrt{(E-a*x^2)*\frac{2}{m} } dt \end{eqnarray*}$

Durch umformen bin ich bis hierher gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{m}{2} * \frac{(dx)^2}{E-ax^2}= (dt)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll. Ziel ist es, x(t) zu finden. Dazu müsste ich meiner Meinung nach aber erstmal so umformen, dass nur noch ein x da ist. Das kann ich leider nicht. Kann mir jemand helfen? Es ist sicher wieder zu leicht unglücklich

LG, Melanie

23.11.2009, 18:01

Leopold

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Löse die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen. Die Lösung läuft auf eine Sinusfunktion hinaus.

23.11.2009, 18:04

Lemoncake

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Wie geht das genau? Ich hatte sowas in der Schule leider überhaupt nicht und werde damit jetzt an der Uni überrannt...

Dass eine Sinusfunktion rauskommt, sagte mir schon mein Übungsgruppenleiter unglücklich

23.11.2009, 18:07

Leopold

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Vielleicht hilft das.

23.11.2009, 18:11

Lemoncake

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danke, aber fühle mich irgendwie erschlagen unglücklich

Kannst du das an dem Beispiel vllt mal erklären? Ich hab sowas wie gesagt noch nie gemacht und ich verstehe die Zusammenhänge noch nicht so ganz...

23.11.2009, 18:19

Leopold

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Zitat:

Original von Lemoncake
Ich hab sowas wie gesagt noch nie gemacht

Es ist nicht glaubhaft, daß als erstes Beispiel einer Differentialgleichung ein solches "Monster" auftritt. Ich kann hier unmöglich die Theorie der Differentialgleichungen ausführen.

23.11.2009, 18:29

Lemoncake

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Ich kann das, was man eben im Mathe GK bis zum Abi macht. Mehr aber auch echt nicht. Da ich 2-Fach-Bachelor mache, habe ich leider auch kein Mathe im Studium (wie die meisten anderen), so dass ich so irgendwie klar kommen muss.

Es wäre nett, wenn mir jemand die nächsten 2-3 Zeilen angeben würde, damit mir das Prinzip ersichtlich wird.

23.11.2009, 20:35

Lemoncake

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Weiß denn niemand was? Mit Trennung von Variablen hab ich wirklich noch nie gearbeitet! unglücklich

23.11.2009, 22:15

Leopold

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Bitte beantworte als erstes die Frage: Was ist eine Differentialgleichung?
Dann sehen wir weiter.

23.11.2009, 22:26

Lemoncake

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Sorry, aber verarschen kann ich mich echt selber. Ich dachte, dass einem hier weitergeholfen wird, aber das war wohl ein Irrtum.

23.11.2009, 22:29

Leopold

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Anscheinend kannst du die Frage nicht beantworten. Man kann aber kein Verfahren erklären, wenn der Betreffende gar nicht weiß, auf welchen Sachverhalt sich das Verfahren bezieht.

23.11.2009, 22:37

Lemoncake

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sorry, aber so ganz doof bin ich auch nicht...

Ich hatte eine konkrete Frage. Leider äußert sich ja sonst niemand dazu.

23.11.2009, 22:43

Leopold

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Und ich habe dir eine ganz konkrete Antwort gegeben: Trennung der Veränderlichen. Dazu noch einen Link. Dann hast du gejammert, daß du da überhaupt nichts verstehst. Dabei ist das das erste Verfahren, das man beigebracht bekommt, wenn man Differentialgleichungen behandelt. Da muß ich doch den Verdacht haben, daß die Probleme viel tiefer liegen. Du kannst ja einmal die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd r}{\dd t} = 2rt \end{eqnarray*}$

lösen.

23.11.2009, 22:51

Lemoncake

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r'(t) = 2rt, oder was willste hören? Daraus folgt dann noch r(t)= rt^2

24.11.2009, 07:31

Leopold

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Mein Verdacht hat sich bestätigt: Du weißt nicht, was eine Differentialgleichung ist. Das ist ja weiter keine Schande, nur zeigt es, daß es im Moment nicht sinnvoll wäre, mit dir die Lösung der Aufgabe zu erarbeiten, da du gar nicht wüßtest, was du tätest.

Beispiel: Ich bezeichne wie du die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit einem Strich. Dann besitzt die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} r' = 2rt \end{eqnarray*}$ die Lösungen

$\begin{eqnarray*} r = r(t) = C \operatorname{e}^{t^2} \end{eqnarray*}$

worin $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine reelle Konstante ist. In deiner "Lösung" hast du auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante behandelt. $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist aber eine Funktion.

Vereinfacht gesagt ist eine Differentialgleichung eine Gleichung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen. Eine Differentialgleichung lösen heißt, die Funktionen zu bestimmen, die beim Einsetzen die Differentialgleichung erfüllen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \, , \ \ f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

Daraus könnte man jetzt eine Differentialgleichung machen. Man löst die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf: $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} f'(x) \end{eqnarray*}$ , und setzt das in die erste Gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{4} \left( f'(x) \right)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn man, wie es üblich ist, die Bezeichner $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ für die Variable und die gesuchte Funktion verwendet, dann kann man sagen: Die obige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Lösung der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y'^2 = 4y \end{eqnarray*}$

Aber beileibe nicht die einzige. So ist zum Beispiel auch die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = (x+17)^2 \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Differentialgleichung.

Versuche einmal umgekehrt, möglichst viele Lösungen der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y' = y \end{eqnarray*}$

zu erraten.

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