Dirichlet-Funktion nirgends stetig

23.11.2009, 18:07	Hans123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichlet-Funktion nirgends stetig Hallo Leute Ich will zeigen, dass die dirichlet funktion nirgends stetig ist: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases}1, & \textrm{falls } x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \textrm{falls } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \end{eqnarray}$ Habe mir eine folge gebastelt: $\begin{eqnarray} x_n = x_0 + \frac{1}{ n\sqrt{2} } \subset\mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ Die folge ist immer in $\begin{eqnarray} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ , aber ihr grenzwert ist in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ Daraus kann ich schliessen, dass die funktion in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ nirgends stetig ist, z.b für $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Wîe kann ich nun zeigen, dass die funktion in $\begin{eqnarray} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ nicht stetig ist? Gruss Hans
23.11.2009, 18:21	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Man braucht sich nicht die Mühe zu machen, konkrete Folgen zu konstruieren. Es reicht die Tatsache, dass sich jede rationale und jede irrationale Zahl sowohl durch rationale als auch durch irrationale Folgen annähern lässt. Dass man eine irrationale Zahl als Grenzwert einer rationalen Folge darstellen kann, folgt ja mehr oder weniger direkt aus der Definition von R. Und umgekehrt kann man daraus schließen, dass jede rationale Zahl der Grenzwert einer irrationalen Folge ist. Dein konkretes Beispiel geht natürlich auch, aber mich persönlich würde daran stören, dass Du die Irrationalität der Folgenglieder einfach voraussetzt.
23.11.2009, 20:12	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles geht noch einfacher wenn man mit Epsilon und Delta spielt... .

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