Vollständige Induktion

23.11.2009, 18:08	Katii	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Aufgabe: Zeigen Sie, dass n^3 + 3n^2 + 2n für jedes n aus N (natürliche Zahlen) durch 6 teilbar ist. Lösung: Ich würde die Zahl als Produkt schreiben: n*(n^2+3n+2) Vielleicht kann mir jemand sagen wie man jetzt weiterrechnet? Danke
23.11.2009, 18:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere mal aus: $\begin{eqnarray} n(n+1)(n+2) \end{eqnarray}$
23.11.2009, 21:15	Katii	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, aber was hilft mir das, muss ich jetzt für n eine Zahl einsetzen und gucken ob jeder Faktor durch 6 teilbar ist oder wie? danke
23.11.2009, 21:39	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 3 und durch zwei teilbar ist; von drei Zahlen hintereinander ist genau eine durch drei teilbar: (n+0)(n+1)(n+2) ist also durch drei teilbar. Ebenso ist (n+0)*(n+1) durch 2 teilbar. Allerdings sieht das nicht nach Induktion aus. Sollst du vollständige Induktion benutzen, oder ist egal, wie du die Aufgabe löst?
23.11.2009, 22:38	Katii	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok. Ja wir müssen´s mittels vollständiger Induktion machen.
24.11.2009, 06:04	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du als Induktionsstart für n^3 + 3n^2 + 2n 1^3 + 3+1^2 + 2*1 = 6 (offensichtlich durch sechs teilbar) Für den Induktionsschritt musst du beweisen, dass wenn n^3 + 3n^2 + 2n durch sechs teilbar ist (das darfst du als bewiesen vorraussetzen) , auch (n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1) durch 6 Teilbar sein muss.
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24.11.2009, 09:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich halte das für Schulmathe, daher verschoben.
24.11.2009, 10:28	Katii	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok und jetzt kann ich für n 1 einsetzen und habe somit bewiesen, dass es durch 6 teilbar ist oder??
24.11.2009, 11:01	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du mußt für ein beliebiges n zeigen, daß $\begin{eqnarray} (n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1) \end{eqnarray}$ durch 6 teilbar ist. Dabei darfst du verwenden, daß schon $\begin{eqnarray} n^3 + 3n^2 + 2n \end{eqnarray}$ durch 6 teilbar ist. Also multipliziere mal die Klammern aus und stelle die Terme geeignet um.

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