Beweis Dreiecksungleichung

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23.11.2009, 22:20	sin(x²)= 99	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Dreiecksungleichung Beweisen Sie bitte die zweite Dreiecksungleichung in C \| \|z\| - \|w\| \| <= \| z - w \| danke
23.11.2009, 22:26	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du nicht irgendeine Idee? Kein Ansatz? Bei deinem "Alter" solltest du über die Regeln hier bescheid wissen :P
23.11.2009, 22:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\| \, \|z\| - \|w\| \, \right\| \leq \|z - w\| \end{eqnarray}$ ist ja äquivalent zu $\begin{eqnarray} - \|z - w\| \leq \|z\| - \|w\| \leq \|z-w\| \end{eqnarray}$ Setze zum Beweis in der Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray} \|a+b\| \leq \|a\| + \|b\| \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a = z-w \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} b=w \end{eqnarray}$ ein.
23.11.2009, 22:28	FreeUser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Dreiecksungleichung also das sind 2 verschiedene Aufgaben... beginnen wir mal allgemein mit dieser Dreiecksungleichung, fuer reelle Zahlen ist das ja keine Schwierigkeit, man quadriert einfach und kann dann abschätzen... Wie macht man das nun fuer komplexe Zahlen???
24.11.2009, 09:33	Kokett	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold hm, also klar, wenn ich das einsetze kommt nach auflösen das raus: \|z\| - \|w\| <= \|z-w\| aber ist das dann für komplexe zahlen gezeigt? ich meine du hast ja nur substituiert, müssen ja gar keine komplexen zahlen sein... außerdem wirken sich doch betragstriche auf der linken seite nochmal mehr aus... \| \|z\| - \|w\| \| <= \|z-w\|
24.11.2009, 16:59	Kokett	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mir überlegt, dass z = a + bi w = a' + b'i zu zeigen ist: \| \|z\|-\|w\| \| <= \|z-w\| dann steht eingesetzt: \| \|a+bi\| - \|a'+b'i\| \| <= \|a+bi - a' - b'i\| das kann ich auch so umschreiben, weil $\begin{eqnarray} \|a+bi\| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray}$ zu: $\begin{eqnarray} \| \sqrt{a^{2} + b^{2}} - \sqrt{a'^{2} + b'^{2}} \| <= \|(a+a') - (b+b')i\| \end{eqnarray}$ wer hat ne idee, wie ich jetzt am besten weiter machen sollte??
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24.11.2009, 21:43	sin(x²)= 99	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich weiß hier wirklich nicht mehr, weiter, ich hoffe ihr könnt mit Kokett Ansatz was anfangen... ich tapp zurzeit im dunkeln
25.11.2009, 10:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Anstatt uns hier mit Smileys vollzukleistern, solltest Du lieber auf Leopold hören. Der hat eigentlich alles nötige geliefert, und: Ja, es ist dann auch für komplexe Zahlen gezeigt. Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil ist vollkommen überflüssig. Das einzige was man voraussetzen muss, ist die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen. Gruß, Reksilat.
25.11.2009, 11:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die sogenannte "umgekehrte Dreiecksungleichung", um die es hier geht, ist eine direkte Folge der gewöhnlichen Dreiecksungleichung. Man braucht keine speziellen Eigenschaften des umgebenden Raumes (hier der komplexen Zahlen) mehr. Ist also $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ eine Norm, so daß insbesondere die Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray} N(a+b) \leq N(a) + N(b) \end{eqnarray}$ gilt, so gilt auch $\begin{eqnarray} \left\| N(a) - N(b) \right\| \leq N(a-b) \end{eqnarray}$ Wie man das beweist, habe ich in meinem ersten Beitrag schon skizziert. Vielleicht ist es etwas verwirrend, daß in der Aufgabe die Betragszeichen für verschiedene Dinge stehen: $\begin{eqnarray} \left\| \, \|z\| - \|w\| \, \right\| \leq \|z-w\| \end{eqnarray}$ Die äußeren Betragsstriche auf der linken Seite sind reelle Betragsstriche, alle anderen Betragsstriche sind komplexe Beträge. Schreiben wir für den Moment den komplexen Betrag als $\begin{eqnarray} \|z\| = N(z) \end{eqnarray}$ und den reellen wie üblich, dann bekommt die zu zeigende Ungleichung die Form von oben: $\begin{eqnarray} \left\| N(z) - N(w) \right\| \leq N(z-w) \end{eqnarray}$

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