e^x*e^y mit Hilfe v.Potenzreihe beweisen

23.11.2009, 22:51	Sivasli86	Auf diesen Beitrag antworten »
*e^xe^y mit Hilfe v.Potenzreihe beweisen** Hallo, ich habe ene Frage: Heute in der Übungsstd. haben wir mit Hilfe von Potenzreihen bewiesen, dass $\begin{eqnarray} e^{x} e^{y} = e^{x+y} \end{eqnarray}$ . Hier die eigtl. Frage: Wie kann man in dem Schritt : $\begin{eqnarray} \sum_{k\geq 1}^- ~\sum_{l=0}^k ~\frac{1}{k!}\frac{k!}{l!(k-l)!}x^ly^{k-l} = \sum_{k\geq 0}^-~\frac{1}{k!}(xy)^k = (e^{x+y}) \end{eqnarray}$ Ich verstehe den Zwischenschritt nicht so ganz. Kann mich jmd aufklären?
23.11.2009, 22:57	Sivasli86	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: e^xe^y mit Hilfe v.Potenzreihe beweisen** $\begin{eqnarray} \frac{k!}{l!(k-l)!}x^ly^{k-l} \end{eqnarray}$ dass ist der binom. Lehrsatz, klar! aber irgendwie fehlt mir der gewisse aha-effekt vielleicht liegt daran, dass ich nicht genau nachvollziehen kann, wieso gilt -> e^x+y
23.11.2009, 23:19	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Schulmathematik, hm? Ihr hattet das Cauchy-Produkt von Reihen? Gut. Da steht doch schon fast alles...? $\begin{eqnarray} \exp (x)\cdot \exp (y) \underset{\text{Cauchy}}{=} \sum_{k=0}^\infty~\sum_{l=0}^k ~\frac{1}{l!(k-l)!}x^ly^{k-l} <br /> =\sum_{k=0}^\infty~ \frac{1}{k!} \underbrace{\sum_{l=0}^k ~\frac{k!}{l!(k-l)!}x^ly^{k-l}}_{(x+y)^k}<br /> = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x+y)^k}{k!} \overset{\text{n. def.}}{=} \exp ({x+y}) \end{eqnarray}$ MfG
24.11.2009, 00:29	Sivasli86	Auf diesen Beitrag antworten »
uups, muss natürlich in hochschulmathematik rein... hab die kategorie übersehen

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