Beweis komplexe Zahlenfolge

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23.11.2009, 23:10	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis komplexe Zahlenfolge Hallo, ich bin gerade am Lösen meiner Übungsaufgaben und hab alles soweit gelöst. Nur bei einem Beweis, bin ich mir grad nicht sicher, wie ich rangegen soll. $\begin{eqnarray} \| a_{n} \| \leq \left(1-\frac{1}{n}\right)\| a_{n-1}\| \forall n > n1\in \mathbb N \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \end{eqnarray}$ Also die Sache ist an sich völlig logisch. Wenn der Betrag einer komplexen Zahl ab einen bestimmen Index immer kleiner wird, dann geht sowohl der Realteil, als auch der Imaginärteil der komplexen Zahl gegen Null. Aber wie zeigt man das rechnerisch? EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen im Latexcode (klarsoweit)
24.11.2009, 11:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} n > n_1 \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} \|a_n\| \leq \left(1-\frac{1}{n} \right) \|a_{n-1}\| \leq \left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{1}{n-1} \right)\|a_{n-2}\| \leq \left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{1}{n-1} \right) \left(1-\frac{1}{n-2} \right) \|a_{n-3}\| \leq ... \end{eqnarray}$ Mache das bis du bei $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ angekommen bist. Evtl. kannst du die gewonnene Abschätzung noch per Induktion beweisen.
24.11.2009, 11:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis komplexe Zahlenfolge Deine Beweisidee ist halb richtig und halb falsch, wobei der falsche Teil ganz schrecklich falsch ist. Richtig ist: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} ~\|a_n\| = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} ~a_n = 0 \end{eqnarray}$ Das ist ziemlich trivial. Denn mit $\begin{eqnarray} a_n=x_n+iy_n \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \|a_n\|=\sqrt{x_n^2+y_n^2} \end{eqnarray}$ Und daraus folgt: $\begin{eqnarray} \|x_n\| \leq \|a_n\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|y_n\| \leq \|a_n\| \end{eqnarray}$ Schrecklich falsch ist dagegen die Annahme, weil $\begin{eqnarray} \|a_n\| \end{eqnarray}$ streng monoton fallend ist, gelte: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \|a_n\| =0 \end{eqnarray}$ Einfaches Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ Du musst schon beweisen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \|a_n\| =0 \end{eqnarray}$ tmo hat dir die Beweisidee geliefert. Ich würde sie so formulieren: Beweise per vollständiger Induktion, dass für $\begin{eqnarray} n>n_1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|a_{n+m}\|=\frac{n-1}{n+m}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$
24.11.2009, 15:28	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh den Beweisansatz irgendwie nicht ganz. Wie kommst du auf diese Gleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \| a_{n+m} \| = \frac{n-1}{n+m}\| a_{n-1} \|<br /> \end{eqnarray}$ Wieso verschwindet auf einmal das Ungleichheitszeichen?
24.11.2009, 15:59	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ungleichheitszeichen sollte natürlich nicht verschwinden. Das ist ein Schreibfehler bei mir. Schau dir mal die ersten Schritte an: $\begin{eqnarray} \|a_n\| \leq (1-\frac{1}{n})\|a_{n-1}\|=\frac{n-1}{n}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}\|\leq \frac{n}{n+1}\|a_n\| \leq \frac{n}{n+1} \cdot\frac{n-1}{n}\|a_{n-1}\|=\frac{n-1}{n+1}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \|a_{n+2}\|\leq \frac{n+1}{n+2}\|a_{n+1}\| \leq \frac{n+1}{n+2} \cdot\frac{n-1}{n+1}\|a_{n-1}\|=\frac{n-1}{n+2}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Jetzt sollte das Induktionsschema klar sein. Und überall ist $\begin{eqnarray} n > n_1 \end{eqnarray}$ angenommen.
24.11.2009, 16:39	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich jetzt praktisch noch nachweisen, dass es auch für n=n+1 gilt, oder?
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24.11.2009, 16:52	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sehr unglücklich ausgedrückt, denn n = n +1 ergibt 0 = 1 und das könnte doch der eine oder andere in Zweifel ziehen. Wenn du meiner Idee folgst, ist per vollständiger Induktion über m zu zeigen, dass für alle ganzzahligen m >= 0 und n > n1 gilt: $\begin{eqnarray} \|a_{n+m}\|\leq \frac{n-1}{n+m}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$
24.11.2009, 17:04	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh... einen derartigen Induktionsbeweis hab ich noch nie geführt. Wie macht man denn das am besten? Ich mein. Wieso muss ich das noch beweisen?
24.11.2009, 18:43	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Mathematik muss man alles beweisen. Und der Beweis geht wie jeder Induktionsbeweis. Du zeigst, dass die Behauptung für einen Anfangswert $\begin{eqnarray} m = m_0 \end{eqnarray}$ gilt. Hier kannst du $\begin{eqnarray} m_0 =0 \end{eqnarray}$ wählen. Das ist ja gemäß der Aufgabenstellung richtig. Dann zeigst du, wenn die Behauptung für ein $\begin{eqnarray} m \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt sie auch für $\begin{eqnarray} m +1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist dabei ein fester Parameter größer $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ .
25.11.2009, 00:13	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn ich jetzt also den induktionsanfang mache, dann stünde da $\begin{eqnarray} <br /> IA: m=m_0=0<br /> <br /> \|a_n\|\leq \frac{n-1}{n}\|a_n-1\|<br /> <br /> IS: m=m+1<br /> <br /> \|a_{n+m+1}\|\leq \frac{n-1}{n+m+1}\|a_n-1\|<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Aber was sagt mir das jetzt?
25.11.2009, 09:13	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen davon, dass dein Beitrag wegen der Zeilenschaltungen schwer lesbar ist, hast du den Induktionsschritt von m auf m +1 einfach hingeschrieben, ohne ihn zu beweisen. Der Beweis sieht so aus: Nach Voraussetzung der Aufgabe gilt: $\begin{eqnarray} \|a_n\|\leq \frac{n-1}{n}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Da das für jedes $\begin{eqnarray} n > n_1 \end{eqnarray}$ gilt, kann man es auch für n + m +1 benutzen. Dann steht da: $\begin{eqnarray} \|a_{n+m+1}\|\leq \frac{n+m}{n+m+1}\|a_{n+m}\| \end{eqnarray}$ Wenn nun die Behauptung für m schon gilt, dann ist: $\begin{eqnarray} \|a_{n+m}\|\leq \frac{n-1}{n+m}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Das in die vorige Gleichung eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} \|a_{n+m+1}\|\leq \frac{n+m}{n+m+1}\cdot\frac{n-1}{n+m}\|a_{n-1}\|=\frac{n-1}{n+m+1}\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Und das ist die Behauptung für m + 1. Womit der Schritt von m auf m +1 bewiesen ist.
25.11.2009, 17:11	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, also habe ich jetzt gezeigt, dass $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{n \to \infty} \|a_{n}\| = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0<br /> \end{eqnarray}$

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