Was wäre die Wurzel aus -i.

23.11.2009, 23:22

Methu

Was wäre die Wurzel aus -i.

1.) Ein Kollege von mir und ich selbst haben uns gerade Gedanken über imaginäre bzw. komplexe zahlen gemacht. Dabei sind wird über $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ gestolpert, welche sich ja mit i*1 darstellen lässt. Nun haben wir uns überlegt, dass es ja theoretisch auch $\begin{eqnarray*} \sqrt-(\sqrt{-1}) \end{eqnarray*}$ geben müsste.

Die Frage ist nun: "Ist dies eine imaginäre Zahl?; Ist sie als n*i darstellbar?; Wann ja wie?; Ist auch $\begin{eqnarray*} \sqrt-(\sqrt-(\sqrt{-1})) \end{eqnarray*}$ darstellbar, bzw lässt sich diese Kette unendlich vortführen?"

2.) Und eine weiter Überlegung wäre, ob ein eigentlich 2 dimensionaler Vektor nicht 4 dimensional sei, da die beiden Achsen von denen wir ausgehen, ja beide scheinbar 2 Achsen haben (eine reelle und eine imaginäre). Könnte man diese Spielchen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt-(\sqrt{-1}) \end{eqnarray*}$ so weit treiben, dass jede dieser beiden Achsen sich noch mal in 2 teilt und mit $\begin{eqnarray*} \sqrt-(\sqrt-(\sqrt{-1})) \end{eqnarray*}$ ... usw?

Verwirrt. *T_T*

3.) Und was ist mit folgender kranker Überlegung?

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=5696703&mixmod=mix

Edit: Ich habe mal 1/2/3 eingefügt, damit die Antworten klar auf die einzelnen Teile bezogen werden können. smile

23.11.2009, 23:28

kiste

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Hallo,

das was ihr euch überlegt habt stimmt so nicht.
$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist algebraiisch abgeschlossen, d.h. jedes Polynom hat eine Nullstelle.
Insbesondere natürlich das Polynom x^2 - i dessen Nullstelle ja die gefragt $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} x^2 = \mathrm i = \exp(\pi /2 \cdot \mathrm i) \end{eqnarray*}$ . Damit ist eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \exp (\frac{\pi}{4}\mathrm i) = \frac{\sqrt 2}{2}\mathrm i + \frac{\sqrt 2}{2} \end{eqnarray*}$

23.11.2009, 23:30

Methu

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Die Frage ist ja eigentlich wie es sich mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$ verhält.

(Erster Post ganz leicht editiert.)

23.11.2009, 23:33

kiste

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2. und 3. sollte damit ja schon als falsch identifiziert sein.

1.) kannst du jetzt leicht nach demselben Prinzip nachrechnen, pi/2 wird eben durch -pi/2 ersetzen und dementsprechend ändert sich auch die Lösung

23.11.2009, 23:35

MatheDrache

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Ich würde das jetzt so sehen :

$\begin{eqnarray*} i = -1^\frac{1}{2} \sqrt{i} = \left(-1^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{2} = -1^\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Oder irre ich mich da ?

23.11.2009, 23:39

Methu

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Zitat:

Original von MatheDrache
Ich würde das jetzt so sehen :

$\begin{eqnarray*} i = -1^\frac{1}{2} \sqrt{i} = \left(-1^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{2} = -1^\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Oder irre ich mich da ?

Es geht aber immer noch um $\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$ und nicht um $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

23.11.2009, 23:41

kiste

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@Mathedrache
Die Wurzelfunktion ist leider nicht so definiert in C Augenzwinkern

@Methu
Noch Fragen? Die Lösung steht im Prinzip schon in meinen Posts

23.11.2009, 23:44

Methu

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Zitat:

Original von kiste
2. und 3. sollte damit ja schon als falsch identifiziert sein.

1.) kannst du jetzt leicht nach demselben Prinzip nachrechnen, pi/2 wird eben durch -pi/2 ersetzen und dementsprechend ändert sich auch die Lösung

Also: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}/2 - (\sqrt{2}*i)/2 \end{eqnarray*}$ ?

Ich kann das noch nicht ganz nachvollziehen. *confuse*

23.11.2009, 23:45

MatheDrache

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@kiste

Stimmt, hab die komplexen Wurzeln total vergessen

23.11.2009, 23:46

kiste

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Das Ergebnis stimmt.
Da du noch große Wissensdefizite hast lese am besten nochmal eine Einführung zu den komplexen Zahlen(z.B. in einem Analysis 1 Skript oder bei Wikipedia)

23.11.2009, 23:51

Methu

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Zitat:

Original von kiste
Das Ergebnis stimmt.
Da du noch große Wissensdefizite hast lese am besten nochmal eine Einführung zu den komplexen Zahlen(z.B. in einem Analysis 1 Skript oder bei Wikipedia)

Dabei.

Darf man das ganze so " $\begin{eqnarray*} x=(-\sqrt{2} * (-1 + i))/2 \end{eqnarray*}$ " aufschreiben?

23.11.2009, 23:56

kiste

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24.11.2009, 00:22

Methu

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(Das hier schreibt nicht Methu, sondern der, der sich die frage nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$ eigentlich stellte und (noch) nicht studiert, soviel vorweg.)
Okay einmal ganz naiv gefragt:
ie Aussage ist also dass:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} = (-\sqrt{2}*(-1+i))/2) \end{eqnarray*}$
also dass:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} = 0,7071067811865476-0,7071067811865476i \end{eqnarray*}$

oder um es als Vektor darzustellen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,7071067811865476 \\ \ -0,7071067811865476 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ungeachtet der Richtigkeit der Vorzeichen, soll das also heißen, dass die Wurzel aus einer auf der Gaußschen Zahlenebene eindimensionalen Zahl, mehrdimensional ist?

Das mag jetzt natürlich totaler Schwachsinn sein, aber aus $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{2}*(-1+i))/2) \end{eqnarray*}$ lese ich eine Komponente die vorher nicht gegeben war und zwar eine Verschiebung nach der reellen Achse.

Mir würde auch genügen, wenn du mir einen genauen Verweis auf den Beweis dazu liefern könntest/würdest. Danke im Vorraus.

24.11.2009, 00:34

Airblader

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Wer sagt denn, dass die Wurzel nur eine Skalierung auf der durch Ursprung und Radikand gegebenen Gerade liefert?
Wenn dem so wäre, müsste es auch für die Quadratfunktion gelten.

Und da kann man das mMn noch schöner sehen, denn

$\begin{eqnarray*} z^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi \end{eqnarray*}$

Man sieht hier ganz deutlich, dass für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , also eine komplexe Zahl, die rein auf der Im(z)-Achse liegt, ein Ergebnis geliefert wird, das plötzlich einen reellen Anteil (d.h. ungleich Null) besitzt.

Aber ist die Erkenntnis so neu? Wohl kaum. Setze a=0 und b=1 und du erhälst:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \not\ni i=z~\Rightarrow~ z^2 = i^2 = -1 \in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Und das wird sicher keine Überraschung für dich sein, oder?

Eine komplexe Zahl ist immer zweidimensional. Auch dann, wenn Real- oder Imaginärteil Null werden. Im letzteren Fall kann man sie lediglich auch als rein reell betrachten, doch im Sinne der komplexen Zahlen bleiben sie ein Paar reeller Zahlen - auch, wenn eine davon Null ist.

air

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