Überprüfen ob 4 Punkte in einer Ebene liegen... |
| 09.06.2004, 15:39 | tschekowski | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Überprüfen ob 4 Punkte in einer Ebene liegen... Wir haben 4 Punkte gegeben und sollen jetzt überprüfen ob diese in einer Ebene liegen. Eine Lösung wäre, dass man aus 3 Punkten eine Ebene macht und schaut ob der vierte darin liegt. Laut Musterlösung reicht es aber wenn man lediglich überprüft ob die Vektoren AB, AC und AD linear abhängig sind. Warum kann man bei dieser Aufgabe so vorgehen ? |
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| 09.06.2004, 16:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, wenn die 4 Punkte in einer Ebene liegen, dann sind die 3 angegebenen Vektoren auch komplanar, sie liegen demnach in einer Ebene. In diesem Falle läßt sich der dritte Vektor immer als Linearkombination der beiden anderen schreiben: AD = r*AB + s*AC. Da (r,s) nicht (0,0) sein kann, sind die drei Vektoren daher linear abhängig, denn es gilt: r*AB + s*AC - 1*AD = 0, wobei nicht alle Parameter gleich Null sind. Das ist die Bedingung für die lineare Abhängigkeit. Dies ist nicht so, wenn ABCD nicht in einer Ebene liegen, denn dann hat die Gleichung AD = r*AB + s*AC für r, s keine Lösung und es ist dann die Beziehung r*AB + s*AC + t*AD = 0 nur für (r,s,t) = (0,0,0) erfüllt. Das ist die Bedingung für die lineare Unabhängigkeit. Gr mYthos |
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