Produkt von invertierbaren Matrizen

06.10.2006, 19:14

kingskid

Produkt von invertierbaren Matrizen

hi!

Ist das Produkt von zwei Matrizen die jeweils invertierbar sind wieder invertierbar??
... wie kann man das schnell zeigen?
würd das gerne in einem beweis benutzen... =)

viele grüße
kingskid

06.10.2006, 19:33

penizillin

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ja, über dem körper K invertierbare matritzen der größe nxn bilden eine gruppe, besser bekannt als $\begin{eqnarray*} GL_n(K) \end{eqnarray*}$ , die lineare gruppe.

das bedeutet, dass das produkt zweier inv. matritzen wieder in der gruppe liegt, sprich, invertierbar ist.

06.10.2006, 19:36

penizillin

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zum beweis...

seien also A und B zwei solche inv. matrix, also $\begin{eqnarray*} A, B \in GL_n(K) \end{eqnarray*}$

dann ist mit sicherheit

$\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = I = B^{-1} \cdot B \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = B^{-1} \cdot B \end{eqnarray*}$

und jetzt von rechts erst mit $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ , dann mit $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

assoziativgesetzt anwenden (richtigrum klammern), inverse ablesen Augenzwinkern

06.10.2006, 23:46

kingskid

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ah okay, dankeschön!!

hab ich das so richtig gemacht:

$\begin{eqnarray*} A A^{-1} = B^{-1} B \end{eqnarray*}$

mit B und B^{-1} multipliziert:

$\begin{eqnarray*} A ( A^{-1} B^{-1}) B = B^{-1} B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A (B A )^{-1} B = I \end{eqnarray*}$ d.h.

$\begin{eqnarray*} (BA)^{-1} = A^{-1} B^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

viele grüße
kingskid

07.10.2006, 00:10

irre.flexiv

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Nee so gehts nicht. Du wendest in deinem Beweis an das $\begin{eqnarray*} A^{-1}B^{-1} = (BA)^{-1} \end{eqnarray*}$ und kommst dann zum Ergebnis das $\begin{eqnarray*} (BA)^{-1} = A^{-1} B^{-1} \end{eqnarray*}$ . Was stimmt da nicht Augenzwinkern

Viel mehr musst du die Existenz der Inversen Matrix zeigen. Machs so wie penizillin beschrieben hat, also:

$\begin{eqnarray*} AA^{-1} = B^{-1}B ~\Leftrightarrow~ BAA^{-1}B^{-1} = I \end{eqnarray*}$

Jetzt noch richtig unterpretieren und du weißt das die inverse Matrix zu BA existiert und wie sie aussieht. Wink

07.10.2006, 00:35

kingskid

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ohps, danke für die korrektur, das war irgendwie käse...

nur das mit dem richtig interpretieren bzw richtig rum klammern ist mir nicht klar...

$\begin{eqnarray*} B A A^{-1} B^{-1} = I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} BA = AB \end{eqnarray*}$

oder kann man das einfach so machen:

$\begin{eqnarray*} (BA) (A^{-1} B^{-1}) = I \end{eqnarray*}$

also ist die inverse zu BA gleich $\begin{eqnarray*} A^{-1} B^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

07.10.2006, 00:41

irre.flexiv

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Zitat:

oder kann man das einfach so machen:
$\begin{eqnarray*} (BA) (A^{-1} B^{-1}) = I \end{eqnarray*}$
also ist die inverse zu BA gleich $\begin{eqnarray*} A^{-1} B^{-1} \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} (BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1} \end{eqnarray*}$ . Genau das isses smile

Edit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B A A^{-1} B^{-1} = I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} BA = AB \end{eqnarray*}$

Wie haßt du das denn gefolgert. Du weißt das das bedeutet das Matrizenmultiplikation für invertierbare Matrizen kommutativ ist? Aber das kann irgendwie nicht sein oder? Augenzwinkern

Also: Immer schön von rechts bzw. von links multiplizieren.

07.10.2006, 21:30

kingskid

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oha, okay vielen dank für deine hilfe =)

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