Nilradikal ideal

24.11.2009, 11:43	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilradikal ideal Hallo, Ich sitze mal wieder vor Algebra. Sei R Ring. Man Zeige dass die Teilmenge $\begin{eqnarray} N=\{a\in R \| \exists n\in\mathbb{N} : a^n=0\} \end{eqnarray}$ ein Ideal in R definiert. Beweisidee: $\begin{eqnarray} a,b\in N \end{eqnarray}$ Additive Untergruppe: $\begin{eqnarray} (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom n k \frac{a^n}{a^k} \cdot b^k=\sum_{k=0}^{n} \binom n k \frac{0}{a^k} \cdot b^k\sum_{k=0}^{n} \binom n k 0 \cdot b^k=0 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} (a+b)\in N \end{eqnarray}$ . Es ist weiter $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} (ar)^n=a^n\cdot r^n=0\cdot r^n=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} ar\in N \end{eqnarray}$ . Ist das okay?
24.11.2009, 12:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilradikal ideal Hi schmouk, Die Multiplikativität ist korrekt, aber bei der Additivität gibt es ein Problem: Die Division ist in einem Ring im Allgemeinen nicht definiert und deshalb ergibt der Ausdruck $\begin{eqnarray} a^n/a^k \end{eqnarray}$ keinen Sinn. Es sollte vielmehr $\begin{eqnarray} a^{n-k} \end{eqnarray}$ heißen und das muss eben nicht mehr 0 sein. Der binomische Lehrsatz ist schon der richtige Ansatz, nutze aber auch aus, dass es ein $\begin{eqnarray} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} b^m=0 \end{eqnarray}$ . Der Exponent von $\begin{eqnarray} (a+b) \end{eqnarray}$ muss dann allerdings auch etwas größer als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sein. Gruß, Reksilat.
25.11.2009, 13:18	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, da wähle ich halte $\begin{eqnarray} m=n+n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a + b)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom m k a^{m-k} \cdot b^k \end{eqnarray}$ für k=0 ist dann $\begin{eqnarray} a^{m-k}=a^{n+n}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a + b)^m=0 \end{eqnarray}$ und für k=m ist $\begin{eqnarray} b^{k}=b^{n+n}=0 \end{eqnarray}$ für k=n auch etc. also insg. $\begin{eqnarray} \exists m\in\mathbb{N}: (a + b)^m=0 \end{eqnarray}$ kann man das so machen?
25.11.2009, 13:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so nicht ganz richtig. Du hast ein $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} a^n=0 \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} m\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} b^m=0 \end{eqnarray}$ Als Exponenten von $\begin{eqnarray} (a+b) \end{eqnarray}$ würde ich jetzt $\begin{eqnarray} n+m \end{eqnarray}$ vorschlagen. Gruß, Reksilat.

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