Cauchy Verteilung als Quotient von Normalverteilung |
24.11.2009, 11:45 | phys-crich | Auf diesen Beitrag antworten » |
Cauchy Verteilung als Quotient von Normalverteilung ich stehe vor einem statistischen Problem: Ich habe zwei unabhängige Zufallsvariablen X,Y die jeweils gleichverteilt sind. Dabei wird X aus dem Interval [-a:a] und Y aus dem Interval [-b:b] gezogen. Nach vielen Messungen kann man sehen, dass die Variablen letztlich einer Gaussverteilung mit zwei unterschiedlichen Varianzen und genügen. Wikipedia sagt: "Der Quotient zweier Normalverteilter Zufallsvariablen genügt einer Cauchyverteilung" Die Cauchy-Wahrscheinlichkeitsdichte hat zwar keine Varianz aber den Breitenparameter . Es gilt also im Normalfall: Wenn das Zentrum t=0 ist. Ich stelle auch fest, dass ich in den Quotienten meiner Daten eine Lorentzkurve (Cauchy-Wahrscheinlichkeitsdichte) fitten kann, dabei habe ich meine Lorentzkurve durch: definiert. Es sieht auch erstmal so aus als ob ein quadratischer Zusammenhang: vorliegt. Jetzt frage ich mich: 1. Warum ist der Quotient zweier unabhängiger Zufallszahlen eine Cauchy-Verteilung, wie leitet man das her? 2. Wie hängt A,B und C mit den Varianzen , zusammen, kann man das in die Herleitung von 1. einbauen? Hat jemand von euch einen hilfreichen Vorschlag für mich? Viele Dank! crich (Mathe-lahmer Physiker ;-) |
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