Cauchy Verteilung als Quotient von Normalverteilung

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phys-crich Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy Verteilung als Quotient von Normalverteilung
Hallo Liebe Forumsmitglieder,

ich stehe vor einem statistischen Problem:

Ich habe zwei unabhängige Zufallsvariablen X,Y die jeweils gleichverteilt sind. Dabei wird X aus dem Interval [-a:a] und Y aus dem Interval [-b:b] gezogen.

Nach vielen Messungen kann man sehen, dass die Variablen letztlich einer Gaussverteilung mit zwei unterschiedlichen Varianzen und genügen.

Wikipedia sagt:

"Der Quotient zweier Normalverteilter Zufallsvariablen genügt einer Cauchyverteilung"

Die Cauchy-Wahrscheinlichkeitsdichte hat zwar keine Varianz aber den Breitenparameter .

Es gilt also im Normalfall:

Wenn das Zentrum t=0 ist.

Ich stelle auch fest, dass ich in den Quotienten meiner Daten eine Lorentzkurve (Cauchy-Wahrscheinlichkeitsdichte) fitten kann, dabei habe ich meine Lorentzkurve durch:



definiert. Es sieht auch erstmal so aus als ob ein quadratischer Zusammenhang:



vorliegt.

Jetzt frage ich mich:

1. Warum ist der Quotient zweier unabhängiger Zufallszahlen eine Cauchy-Verteilung, wie leitet man das her?

2. Wie hängt A,B und C mit den Varianzen , zusammen, kann man das in die Herleitung von 1. einbauen?

Hat jemand von euch einen hilfreichen Vorschlag für mich?

Viele Dank!
crich (Mathe-lahmer Physiker ;-)
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