[Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen

24.11.2009, 14:50

PlanBrauchen

[Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen

Ich stehe zugegeben gerade in Analysis I ziemlich auf dem Schlauch. War bei Folgen noch alles klar und easy. Für die Konvergenz von Reihen haben wir nun eine ganze Reihe ( Augenzwinkern

) verschiedener Kriterien eingeführt. (Quotientenkriterium, Majorantenkriterium, Leibnitzkriterium...).

Die Aufgabe lautet nun wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Folge positiver, reeller Zahlen.

Wir setzen nun:

$\begin{eqnarray*} d_n := n(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}) \end{eqnarray*}$

Beweisen sie folgende Aussage:

Wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \beta > 1 \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} d_n \geq \beta \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ ,

dann konvergiert die Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$

Das Blöde ist nun, dass ich nichtmal einen Ansatz hinbekomme, wie ich diese Aussage beweisen sollte. Ich bringe die Reihe nicht mit $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ zusammen. Wie sollte ich d_n betrachten ?

Wäre über Ideen dankbar, oder auch nur ein Tipp welche Art von Beweis sich hier anbieten würde.

Edit-Info:
So, jetzt sollten alle Formeln stimmen und das ganze etwas Übersichtlicher sein.

24.11.2009, 15:04

klarsoweit

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RE: [Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen
Du brauchst eigentlich nur das Quotientenkriterium anwenden und dazu die Ungleichung $\begin{eqnarray*} d_n \geq \beta \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ umstellen.

Mich wundert nur, daß beta > 1 vorgegeben ist.

24.11.2009, 21:33

bernd

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RE: [Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen
Quotientenkriterium funktioniert hier nicht, da man nur die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \le 1-\frac{\beta}{n} \end{eqnarray*}$ erhält. Da hier aber die rechte Seite mit wachsendem n gegen 1 geht, kann es nicht das nötige q<1 geben, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \le q \end{eqnarray*}$ ist.
Man kann aber mit vollständiger Induktion zeigen, dass es ein c>0 gibt, sodass für $\begin{eqnarray*} n \ge N \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \le \frac{c}{n^\beta} \end{eqnarray*}$ gilt. Da die Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^\beta} \end{eqnarray*}$ konvergiert, hat man also eine konvergente Majorante.

25.11.2009, 08:22

klarsoweit

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RE: [Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen
Ja, na klar. Das erklärt auch, warum man beta > 1 braucht. Freude

26.11.2009, 21:01

PlanBrauchen

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RE: [Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen
Also danke erstmal für die Antworten. Ich habe nun schon so einige Stunden vor dieser Aufgabe verbracht.

Leider weiß ich absolut nicht, wie die Vollständige Induktion hier anzuwenden ist, beziehungsweise das "Induktions-Kochrezept" (IV, Induktionsschritt)

Also es wäre super, wenn einer von euch vielleicht einen Zwischenschritt posten könnte, mit dem c>0, bzw. welche Regeln/Kriterien hier angewandt wurden und wie ihr auf diese Majorante gekommen seid !

Danke !

PS: Übrigens wurde im Nachhinein als Tipp zur Aufgabe folgendes angegeben:

"Zeigen sie zunächst dass:

$\begin{eqnarray*} (\beta - 1)a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq (n - 1)a_n - na_{n+1} \end{eqnarray*}$ "

Nun ja, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} d_n \geq \beta \end{eqnarray*}$ dahingehend umformen, aber was nun ? Worauf will dieser Tipp hinaus ?

27.11.2009, 14:48

klarsoweit

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RE: [Analysis I] Konvergenzkriterium für Reihen, Aussage beweisen

Zitat:

Original von PlanBrauchen
$\begin{eqnarray*} (\beta - 1)a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq (n - 1)a_n - na_{n+1} \end{eqnarray*}$ "

Es sieht danach aus, daß man was mit Teleskopsumme machen kann.

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