Arithmetisches, Geometrisches Mittel und Grenzwert

24.11.2009, 17:36	Steffi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetisches, Geometrisches Mittel und Grenzwert Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich einfach nicht weiter komme. Beweise: Ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a \end{eqnarray}$ = a, dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{a(1)+a(2)+...+a(n)}{n} \right) \end{eqnarray}$ = a Vielen Dank für eure Hilfe
24.11.2009, 17:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches, Geometrisches Mittel und Grenzwert Siehe hier: Grenzwert von arithmetisches Mittel Dein Titel wundert mich, denn mit geometrischem Mittel hat das nichts zu tun.
24.11.2009, 19:32	bernd	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches, Geometrisches Mittel und Grenzwert Zunächst ist $\begin{eqnarray} \frac{a_1+...+a_n}{n}-a = \frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n} \end{eqnarray}$ Folglich wird $\begin{eqnarray} \| \frac{a_1+...+a_n}{n}-a\| \le \|\frac{a_1-a}{n}\|+...+\|\frac{a_n-a}{n}\| \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} a_n \to a \end{eqnarray}$ gibt es für $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|a_n-a\| < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \ge n_0 \end{eqnarray}$ gilt. Setzt man $\begin{eqnarray} A=max\{\|a_i-a\|, i=1,...,n_0\} \end{eqnarray}$ so gibt es ein $\begin{eqnarray} n_1 > n_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{n_0 \cdot A}{n} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n > n_1 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n > n_1 \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} \|\frac{a_1-a}{n}\|+...+\|\frac{a_n-a}{n}\| = \|\frac{a_1-a}{n}\|+...+\|\frac{a_{n_0}-a}{n}\|+... +\|\frac{a_n-a}{n}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \le \frac{n_0 \cdot A}{n} +\|\frac{a_{n_0+1}-a}{n}\|+... +\|\frac{a_n-a}{n}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{n-n_0}{n} \cdot \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \end{eqnarray}$ Damit ist der Grenzwert nachgewiesen.
24.11.2009, 21:45	Steffi1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches, Geometrisches Mittel und Grenzwert Danke für eure Hilfe!
24.11.2009, 21:48	Steffi1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches, Geometrisches Mittel und Grenzwert Könnt ihr mir das hier erklären? $\begin{eqnarray} A=max\{\|a_i-a\|, i=1,...,n_0\} \end{eqnarray}$ Die Antwort, bernd ist klasse! Ich habe zur Zeit noch etwas Schwierigkeiten mit der Analysis. Auch wenn ich mich echt bemühe, kommt leider nur selten was wirklich gutes dabei heraus. Das Problem ist nur dass ich soviel Analysis Aufgaben lösen muss =(
13.05.2010, 20:05	casten122	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir die schritte von bernd mal jemand erklären z.b. warum man epsilon/2 wählt und wie die einzelnen schritte zustande kommen danke
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