einseitiger grenzwert

24.11.2009, 19:00

einseitiger grenzwert

hey. kann man denn einen einseitigen GW errechnen, OHNE sich vorher die graphische Darstellung anzeigen zu lassen?

24.11.2009, 19:11

Q-fLaDeN

Ja klar kann man das.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a,~x>a}~f(x) = \lim_{h \to 0}f\left(a+h \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$

Entsprechend für den linksseitigen Grenzwert.

\Edit: Fehler ausgebessert

24.11.2009, 19:18

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achso das zweite bringtmir schon einiges mehr, als das links ... das kann ich in keinem direkt bezug setzen ... bzw nich konkret rechen ...

beim rechten teil, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}f\left(a+\frac 1 h \right) \end{eqnarray*}$

wäre (x+1/h) der rechtsseitiger grenzwert
und (x-1/h) der linksseitiger GW ?

ok ich probiers mal aus ....

24.11.2009, 19:20

Eierkopf

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Nicht vergessen: h>0 !!! voraussetzen!

24.11.2009, 19:42

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hmm ich soll den re.- und li.-seitigen GW an der stelle x=1 berechnen ...

da kann ich doch theoretisch auch folgendes machen oder:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1+} f(x)=\lim_{h \to 0} f(1+h) \end{eqnarray*}$

hört sich ziemlich gleich an ... geht ja eigtl nur um das vorzeichen und nich um das 1/h ... ?

24.11.2009, 19:59

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ok ... bei mir klappts nich ganz ...es soll eigentlich ein uneigentlicher GW rauskommen, aber es kommt ne zahl raus ... ._.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

und der GW soll gegen 1 laufen ...
und bei mir kommt bei
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} f(1+\frac{1}{h})= 1/0 \end{eqnarray*}$ oder ist das dann gleichzusetzen mit unendlich ?

ich dachte eher an: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1+} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 20:14

Q-fLaDeN

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Sorry, hatte oben einen kleinen Fehler drin. Muss natürlich heißen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a,~x>a}~f(x) = \lim_{h \to 0}f\left(a+h \right) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^2-1} = \frac{(x+3)(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x-6}{x-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+}~\frac{x^2+x-6}{x-1} = \lim_{h \to 0, h > 0}\frac{(1+h)^2+(1+h)-6}{(1+h)-1} \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 20:16

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letzten endes ziemlich egal, ob du von als zusätzliches Deltah oder seinen Kehrwert nimmst ... (denk ich mal ... )

nichtsdestototz ist das Vorzeichen sehr wichtig, da du dich
für h>0 von rechts
und h<0 von links näherst ....

der sinn ist also verstanden, aber wie geht es denn jetzt weiter?

im notfall mach ich einfach wertetabellen smile

24.11.2009, 20:25

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von TB
letzten endes ziemlich egal, ob du von als zusätzliches Deltah oder seinen Kehrwert nimmst ... (denk ich mal ... )

Nein das ist es nicht.

Man kann den Grenzwert oben aber nochmal umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a,~x>a}~f(x) = \lim_{h \to 0, h > 0}f\left(a+h \right) = \lim_{n \to \infty}~f\left( a+\frac 1 n \right) \end{eqnarray*}$

Welche der Varianten du wählst ist egal.

Ansonsten siehe meinen Beitrag über deinem letzten.

24.11.2009, 20:55

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ahso ja klar...natürlich ist es nicht egal...du willst dich ja möglichst sehr nah ranlimitieren...für 1/h und h -> 0 wird der wert immer größer und du entfernst dich weg ^^ :P

ok
ich mach mal bei deinem ansatz weiter ...

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+}~\frac{x^2+x-6}{x-1} = \lim_{h \to 0, h > 0}\frac{(1+h)^2+(1+h)-6}{(1+h)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{h^2+2h+1+h+1-6}{h} = \lim_{h \to 0, h > 0}\frac{h(h+\frac{3}{h}-\frac{4}{h^2})}{h} \lim_{h \to 0}(h+\frac{3}{h}-\frac{4}{h^2})=0+\infty-\infty \end{eqnarray*}$

hmm ...

24.11.2009, 21:06

Q-fLaDeN

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Die Idee ist richtig, die Umsetzung jedoch nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0, h >0}\frac{h^2+2h+1+h+1-6}{h} = \lim_{h \to 0, h > 0}\frac{h^2+3h-4}{h} = \lim_{h \to 0, h > 0}~h+3-\frac 4 h \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt gar zu ende führen.

24.11.2009, 21:19

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damn it...im ganzen latex wald sieht man nicht mehr alles. ... scheisse schäm ich mich grad XD
ok danke schon mal ...
ich mach das grad mal parallel für die linksseitige näherung ... als bestrafung für mich selbst ^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{h \to 0}f(1-h) \end{eqnarray*}$ wie bereits gesagt, für h > 0, da ich hier schon mit dem minus rechne ist das korrekt, oder?
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{(1-h)^3+2(1-h)^2-5(1-h)-6}{(1-h^2)+1}= \lim_{h \to 0}\frac{(1-h)^2+(1-h)-6}{(1-h)-1}= \lim_{h \to 0}\frac{1-2h+h^2+1-h-6}{-h}= \lim_{h \to 0}-\frac{h^2-3h-4}{h}= \lim_{h \to 0}-\frac{h(h-3-\frac{4}{h})}{h} \lim_{h \to 0}-(h-3-\frac{4}{h})=-(0-\infty) \end{eqnarray*}$

ok ... endlich ...d as ding ist geschaukelt ^^ danke
verdammt...wie krieg ich hin, dss das alles linksbündig ist???

24.11.2009, 21:56

Q-fLaDeN

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Der rechtsseitige Grenzwert ist also erstmal

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0, h >0}\frac{h^2+2h+1+h+1-6}{h} = \lim_{h \to 0, h > 0}\frac{h^2+3h-4}{h} = \lim_{h \to 0, h > 0}~h+3-\frac 4 h = -\infty \end{eqnarray*}$

Der linksseitige Grenzwert ist - abgesehen von den Fehlern im Abschreiben, ich schiebs mal auf Latex - richtig.

Es ist also

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}-\frac{h(h-3-\frac{4}{h})}{h} = \lim_{h \to 0}-h+3+\frac 4 h = \infty \end{eqnarray*}$

Zum Latex Problem:
Entweder du setzt jede Zeile einzeln in die Latex Tags, d.h am besten die Entertaste in Latex vermeiden oder aber du schreibst vor jede Zeile ein "&&" ohne die Gänsefüßchen und benutzt weiterhin die Entertaste.

Hier noch das Schaubild von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 22:49

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vielen dank erstmal...
kannst du dann wenigstens (der korrekten vollständigkeit halber) den teil rauszitieren und mir zeign, wos genau falsch ist?
weil ich sehs irgendwie nicht ...

25.11.2009, 13:46

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von TB
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{(1-h)^3+2(1-h)^2-5(1-h)-6}{(1-h^2)+1} \end{eqnarray*}$

Hatte eig. nur den Fehler gemeint.
Es müsste ja heißen

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{(1-h)^3+2(1-h)^2-5(1-h)-6}{(1-h)^2-1} \end{eqnarray*}$

25.11.2009, 14:06

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ahso ja klar ... dieser latex urwald hatte mich tatsächlich verwirrt.
nichtsdesotrotz habe ich zum glück dort gar nicht weitergerechnet, habe also nochmal glück gehabt smile

danke

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