Wurzel- Quotientenkriterium

24.11.2009, 19:11

Smaartis

Wurzel- Quotientenkriterium

Hallo,

Folgende Aufgabe:

Geben Sie jeweils eine Reihe an, für das Wurzel- bzw. das Quotientenkriterium keine Aussage liefert, welche aber absolut konvergent bzw. divergent ist(hier sind also vier Antworten gesucht).

Eine Reihe, die divergent ist, für die das Wurzelkriterium aber keine Aussage liefert, habe ich gefunden:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal das stimmt.

Für die anderen Bedingungen habe ich aber keine Lösungen gefunden. Kann mir da wer weiter helfen?

24.11.2009, 19:21

tmo

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Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ (sofern existent) musst du doch nur 2 Reihen angeben Augenzwinkern

Die 1. ist ja schonmal richtig. Du hast doch bestimmt eine Idee für eine konvergente Reihe, die ähnlich wie die harmonische Reihe aufgebaut ist.

24.11.2009, 19:34

Smaartis

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ ist ja nur dann gleich, wenn lim existiert! Wenn eine Folge aber divergiert, dann existiert ja kein GW, oder? Somit ist doch lim nicht existent und ich muss doch erst wieder eine andere Reihe suchen, oder nicht?

24.11.2009, 19:37

tmo

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Zitat:

Original von Smaartis
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ ist ja nur dann gleich, wenn lim existiert! Wenn eine Folge aber divergiert, dann existiert ja kein GW, oder? Somit ist doch lim nicht existent und ich muss doch erst wieder eine andere Reihe suchen, oder nicht?

Du verwechelst hier völlig um wessen Konvergenz es eigentlich wann geht...Mache dir das noch mal klar.

Dein Beispiel ist allerdings richtig.

24.11.2009, 19:46

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Ein kleiner Einwurf: Es ist allerdings so, dass es Reihen gibt, wo $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ existiert und auch zu einer Konvergenzentscheidung gemäß Wurzelkriterium führt, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ nicht existiert bzw. auch in der limsup-Variante nicht greift. Augenzwinkern

24.11.2009, 20:05

Smaartis

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ liefert für das WK keine Aussage. Aber das Quotientenkriterium ginge doch, oder?

Bin grad ein bisschen verwirrt... unglücklich

24.11.2009, 20:57

Smaartis

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hmm... kann ich da jetzt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ angeben?

Mich verwirrt in der Angabe, dass 4 Antworten gesucht werden.

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