Abschätzung komplexe Zahlen

24.11.2009, 20:23

Kokett

Abschätzung komplexe Zahlen

z aus C (komplexe Zahlen)

für:
$\begin{eqnarray*} |z| >= 1 \end{eqnarray*}$
soll diese Abschätzung gelten:
$\begin{eqnarray*} |z| >= 1/2 |z-1| \end{eqnarray*}$

brauche nur mal ne Anleitung, wie man hier rangeht... Tanzen

24.11.2009, 20:43

tigerbine

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RE: Abschätzung komplexe Zahlen
Schreib es einmal richtig mit Latex. Danke

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[l]\frac{a}{b}[/l]

24.11.2009, 20:53

Kokett

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$\begin{eqnarray*} |z| >= \frac{1}{2} |z-1| \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 21:47

bernd

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Mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} z-1=x-1+iy \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} |z|^2=x²+y²,|z-1|^2=(x-1)^2+y^2=x^2+y^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ .
Quadriert man die gewünschte Ungleichung und multipliziert dann mit 4, so ergibt sich $\begin{eqnarray*} 4x^2+4y^2 \ge x^2+y^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} 3x^2+3y^2 \ge 1-2x. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} |x|\le 1 \end{eqnarray*}$ ist das klar, denn dann ist
$\begin{eqnarray*} 1-2x \le 3 \le 3x^2+3y^2 \end{eqnarray*}$
da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \ge 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Für $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ hat man
$\begin{eqnarray*} 3x^2+3y^2\ge 3x^2=2x^2+x^2>-2x+1 \end{eqnarray*}$
da in diesem Fall $\begin{eqnarray*} 2x^2>-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2>1 \end{eqnarray*}$ gilt.

24.11.2009, 22:34

Kokett

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alles klar bernd!
hab das komplett verstanden...vielen Dank Augenzwinkern

24.11.2009, 22:38

tigerbine

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@ berd: Bitte mit Tipps zur lösung leiten und diese nicht komplett posten. Boardprinzip. Danke. Wink

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