Sind folgende Mengen UVR

24.11.2009, 20:26

johny8891

Sind folgende Mengen UVR

Hallo,

soll folgende Aufgabe machen, hab aber absolut keine Ahnung was da verlangt wird.

a) U:={(a,b,c,d)]^T € R^4 / a+3b+2c+4d=0} c R^4

Habe hier geprüft ob der Nullvektor drinen ist und es scheint so - reicht es als Begründung - oder was brauche ich da noch?

b) V:={(x,y,z)^T € R^3 / 2xy=z} C R^3

Da weis ich absolut nicht weiter.

Bitte dringend um Hilfe - Danke!

24.11.2009, 20:31

howdy

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Interpretiere ich das richtig?
a) Überprüfe, ob der Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U:=\{(a,b,c,d)^{T} \in \mathbb R^{4} |\forall_{a,b,c,d}:a+3b+2c+4d=0\} \subset \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$
Es gibt 3 Axiome für einen Untervektorraum, welche erfüllt sein müssen.

Es wäre leichter, wenn du die Aufgabenstellung direkt mit schreiben könntest.

24.11.2009, 20:40

johny8891

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Aufgabenstellung heist nur: Sind folgende Mengen UVR? Begründen Sie Ihre Antwort. Ansonsten hast du alles richtig verstanden.

24.11.2009, 20:44

howdy

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Dann musst du nur stupide die Axiome prüfen.
(1) U enthält den Nullvektor 0 von V.
(2) Aus u_1 € U und u_2 € U folgt u_1 + u_2 € U
(3) aus k € K und u € U folgt ku € U

24.11.2009, 20:49

johny8891

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was sind die U_X's und wie würden die dann in meinem Fall aussehen?

24.11.2009, 21:33

howdy

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Also für a)
Die Vektoren aus U werden beschrieben durch a+3b+2c+4d=0.
(1)
der Nullvektor $\begin{eqnarray*} (0,0,0,0)^{T} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U.
(2)
Hier nehmen wir 2 Elemente aus U.
$\begin{eqnarray*} u_{1}=(a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1})^{T}\ und\ u_{2}=(a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2})^{T} fuer\ u_{1}, u_{2} \in U \end{eqnarray*}$
Aus U folgt:
$\begin{eqnarray*} a_{1}+3b_{1}+2c_{1}+4d_{1}=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_{2}+3b_{2}+2c_{2}+4d_{2}=0 \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich durch Addidion:
$\begin{eqnarray*} (a_{1}+a_{2})+3(b_{1}+b_{2})+2(c_{1}+c_{2})+4(d_{1}+d_{2})=0 \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} u_{1} \oplus u_{2} \end{eqnarray*}$ liegt in U.

(3) (Skalare Multiplikation ist auch Element von U) und den Rest darfst du machen.
Hoffe mir ist kein Fehler unterlaufen verwirrt

25.11.2009, 16:13

johny8891

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Ok das hab ich jetzt verstanden - vielen Dank erst mal.

Ist das jetzt auch analog zur Aufgabe

b) V:={(x,y,z)^T € R^3 / 2xy=z} C R^3

kann ich es da genau so rechnen oder kommt da was anderes raus.

25.11.2009, 21:56

howdy

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Du musst halt immer Zeigen, dass die 3 Axiome enthält Nullvektor, a,b€ U => a+b € U und k € K und u € U => kU € U.
Sobald ein Axiom verletzt wird, bildet U keinen Untervektorraum in V.

26.11.2009, 07:12

johny8891

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Ok dass mit dem nullvektor ist ja klar. Aber das andere mit klein u und klein k, was das soll weis ich nicht.

26.11.2009, 13:18

Mulder

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Zitat:

Original von johny8891
Ok dass mit dem nullvektor ist ja klar. Aber das andere mit klein u und klein k, was das soll weis ich nicht.

Wieso? Du hast diese Menge hier:

$\begin{eqnarray*} V:=\{(x,y,z)^T \in \mathbb R^3 \, | \, 2xy=z \} \end{eqnarray*}$

Und du musst nun überprüfen, ob diese Menge wieder ein Vektorraum ist. Das ist es genau dann, wenn die Menge nicht leer ist, und außerdem abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation mit einem Skalar ist.

Also beispielsweise nochmal die Sache mit der Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation. So einem Vektorraum liegt immer ein bestimmter Körper K zugrunde. Darum nennt man den Vektorraum auch manchmal einen K-Vektorraum zur Verdeutlichung. Das heißt, die Multiplikation muss abgeschlossen sein für alle Skalare aus K. Das heißt, wenn ich ein Element nehme, von dem ich weiß, dass es in V liegt, und dies dann mit einem beliebigen Skalar multipliziere, liegt das Ergebnis dann immer noch in V? Oder habe ich damit V verlassen? Du musst halt unterscheiden:

$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ist ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl.

Und jetzt: Nimm dir ein Element aus V und ein Skalar aus K. K ist ein beliebiger Körper. Wie die aussehen, habt ihr in der Vorlesung sicher mal definiert. Das können zum Beispiel einfach die reellen Zahlen sein.

Also sei $\begin{eqnarray*} v_1 = (x_1,y_1,z_1)^T \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ .

Und nun betrachte $\begin{eqnarray*} k \cdot v_1 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht das aus? Liegt das wieder in V? Du weißt ja aus der Definition von V, welche Bedingung $\begin{eqnarray*} k \cdot v_1 \end{eqnarray*}$ erfüllen muss, damit das wieder in V ist. Einfach mal stur rechnen. Falls ja, ist es abgeschlossen bezüglich Multiplikation. Falls nein, dann ist es halt kein Untervektorraum und du bist fertig. Probier es doch mal.

Nur nicht zu kompliziert denken, da steckt nicht viel hinter. smile

26.11.2009, 19:03

johny8891

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OK jetzt hab ichs vielen dank

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