Submulti einer Norm

07.10.2006, 00:24

kingskid

Submulti einer Norm

Hi !

bin grade dabei zu zeigen, dass es sich hiermit um eine Matrixnorm handelt:

$\begin{eqnarray*} ||A|| = \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ |a_{ij}| \end{eqnarray*}$

die ersten 4 eigenschaften hab ich hinbekommen, nur bei der submultiplikativität weiß ich nicht weiter.

zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} ||A B|| \leq ||A|| ||B|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||AB|| = \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ |a_{ij} b_{ij}| = \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ |a_{ij}| |b_{ij}| \end{eqnarray*}$

nur wie ich zu dieser abschätzung komme ist mir nicht klar:

$\begin{eqnarray*} ...\leq \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ |a_{ij}|\sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ |b_{ij}| \end{eqnarray*}$ .

mir fällt dazu nur die cauchy-schwarzsche ungleichung ein, aber die ist ja mit Quadrat, deshalb weiß ich nicht wie ich sie hier verwenden könnte...?

viele grüße
kingskid

07.10.2006, 09:16

mathemaduenn

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RE: Submulti einer Norm
Morgen kingskid,
Du hast vergessen das bei deinem Matrixprodukt auch schon eine Summe auftaucht. Es muß also insgesamt über 3 Summen summiert werden.
Außerdem ist Cauchy-Schwarz nur ein Spezialfall der Hölderschen Ungleichung Die ist hier vermutlich interessanter.
viele Grüße
mathemaduenn

07.10.2006, 10:00

kingskid

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Hallo Mathemaduenn!

Danke für den link zur hölderschen ungleichung, die hab ich noch nicht gekannt. darf ich diese dann für p=q=1 verwenden, weil oben diese einschränkung steht dass 1/p + 1/q = 1 gelten muss, dann könnt ich sie gar nicht verwenden, oder?
und was ist diese menge S mit "dem zählermaß" ?

habs nochmal versucht, mit der richtigen matrixmultli =) :

$\begin{eqnarray*} || AB|| = || (\sum_{k=1}^n~ a_{ik}b_{kj}) ||= \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ |\sum_{k=1}^n~ a_{ik}b_{kj}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ \sum_{k=1}^n~| a_{ik}b_{kj}| \leq \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^n~ (\sum_{k=1}^n~ |a_{ik}|)(\sum_{k=1}^n~|b_{kj}|) = (\sum_{i=1}^n~\sum_{k=1}^n~ |a_{ik})(\sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~|b_{kj}|) = ||A|| ||B|| . \end{eqnarray*}$

darf ich das im letzten schritt gleich so auseinanderziehen? weil die summe mit den a_ik hängt ja nicht mehr von j ab und die b_kj nicht von i, oder sollte ich das ausführlicher machen... ??

viele grüße
kingskid

07.10.2006, 10:06

mathemaduenn

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Hallo kingskid,
Richtigerweise mußt Du zunächst. p=1 und q=unendlich(Maximumnorm) nehmen. Das es für p=q=1 auch gilt mußt Du noch zeigen.
Das mit dem rausziehen funktioniert so.
viele Grüße
mathemaduenn

07.10.2006, 13:43

kingskid

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Hi Mathemaduenn,

danke für die korrektur!

dann sei nun: $\begin{eqnarray*} p=1, q=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|x_ky_k| \leq ( \sum_{k=1}^n~|x_k|) ( \sum_{k=1}^n~|y_k|^q)^{\frac{1}{q}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ( \sum_{k=1}^n~|x_k|) (max |y_k|) \end{eqnarray*}$ k=1,...,n

$\begin{eqnarray*} \leq ( \sum_{k=1}^n~|x_k|) ( \sum_{k=1}^n~|y_k|) \end{eqnarray*}$ ,

da für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \leq q \leq \infty: ||x||_p \geq ||x||_q \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty \leq ||x||_1 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|x_ky_k| \leq ( \sum_{k=1}^n~|x_k|) ( \sum_{k=1}^n~|y_k|) \end{eqnarray*}$

stimmt das so??

viele grüße
kingskid

08.10.2006, 04:18

mathemaduenn

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Hallo kingskid,

Zitat:

Original von kingskid
da für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \leq q \leq \infty: ||x||_p \geq ||x||_q \end{eqnarray*}$

Dieser Zusammenhang ist mir jetzt nicht direkt klar aber für den Vergleich 1-Norm/Maximum-Norm geht's auf jeden Fall.
viele Grüße
matheamduenn

08.10.2006, 11:58

kingskid

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Hi Mathemaduenn!

Wir ham das in der VL nur als bsp aufgeschrieben:

"für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \leq q \leq \infty : ||x||_p \geq ||x||_q \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} min|x_k| \leq (\frac{1}{N} \sum_{k=1}^N~|x_k|^p)^{\frac{1}{p}} \leq ( \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N~|x_k|^q)^{\frac{1}{q}} \leq max|x_k| \end{eqnarray*}$ bei max und min jeweils 1,...,N.

insbesondere gilt dann für p=1 und q=2:

$\begin{eqnarray*} ||x||_1 \geq ||x||_2 \geq ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac{||x||_1}{N} \leq \frac{||x||_2}{\sqrt{N}} \leq ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ ."

woher die abschätzung mit N kommt, weiß ich nicht so genau, nur für N=2 ist es wohl ungleichung zwischen arithmetischem und quadratischem mittel, oder??

aber vielleicht kannst du mir das ja noch erklären?

viele grüße
kingskid =)

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