Funktionsgrenzwert m Wurzel

24.11.2009, 22:31

ChopstickZ

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Funktionsgrenzwert m Wurzel

Guten Abend.

Ich habe betreffende Aufgabe schon bearbeitet aber bin mir der Korrektheit absolut nicht sicher.

Ich bin ziemlich unerfahren auf dem Gebiet der Analysis und habe mich erst seit heute mit diesem speziellen Thema beschäftigt.

Es geht um den Grenzwert einer Funktion mit Wurzelausdruck:
(mit Lösungsvorschlag)

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x}\overset{/x}{=}\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\sqrt{x+1}}{1}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\sqrt{x+1}\right)=0, \end{eqnarray*}$
denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}\rightarrow1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Wäre super, wenn mich jemand aufklären könnte. Habe auch schon andere Herangehensweisen (was die Wurzel betrifft) ausprobiert, bin aber auf nichts Gescheites gekommen. L'Hospital dürften wir auch benutzen, soweit ich weiß.

Gruß,
chop

24.11.2009, 22:39

Mystic

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Du solltest den Bruch in der Form

$\begin{eqnarray*} -\frac {1-\sqrt{x+1}}{1-(x+1)} \end{eqnarray*}$

schreiben...Vielleicht bringt dich das dann auf eine Idee...

25.11.2009, 00:24

ChopstickZ

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Hat es etwas mit L'Hospital zu tun?

Ich habe gerade eine halbe Ewigkeit versucht, das Ding irgendwie noch zu vereinfachen, zu erweitern, aufzulösen etc. mit allen mir bekannten Regeln...

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{1-\sqrt{x+1}}{1+x-1}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{1-\sqrt{x+1}}{1-\left(x+1\right)}=? \end{eqnarray*}$

Kann auch sein, dass es einfach zu spät ist für solche Aktionen, aber momentan bin ich blind.

Mit L'Hospital: (irgendwas sagt mir, dass es nicht das war, worauf du hinauswolltest..)

$\begin{eqnarray*} ?=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{-1}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} x\rightarrow0 \end{eqnarray*}$ , folgt $\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{\lim}f(x)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Oder ist das so erlaubt?

Danke schon mal für den Denkanstoß. Ich sehe solche Dinge noch nicht.

25.11.2009, 07:46

Mystic

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Ich dachte, du kämst auf die Idee zu kürzen, so wie du ja auch

$\begin{eqnarray*} \frac {a-b}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$

hoffentlich(?) kürzen würdest...

25.11.2009, 10:32

ChopstickZ

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Ja, war wohl zu spät, wenn ich das Übersehen habe.... Oder mir fehlt dafür noch ein bisschen das Gespür (was sich nach diesem Sem. aber hoffentlich geändert haben wird).

$\begin{eqnarray*} \ldots=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{1-\sqrt{x+1}}{1\text{\ensuremath{\cdot}}1-\sqrt{x+1}\sqrt{x+1}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{1-\sqrt{x+1}}{\left(1-\sqrt{x+1}\right)\left(1+\sqrt{x+1}\right)}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}-\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf den gleichen Wert wie beim vorigen Post mit L'Hospital. Wäre die Anwendung von L'Hospital denn da auch korrekt gewesen?

25.11.2009, 10:47

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Aber man muß ja nicht gleich solch schwere Geschütze auffahren. smile

smile

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25.11.2009, 10:56

ChopstickZ

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Okay, L'Hospital ist also eine eher "unschöne" (oder zu vermeidende) Weise, den Grenzwert zu berechnen. Kann man denn z.B.
___

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow1}{\lim}\frac{x^{5}-1}{x^{4}-1}\overset{\mbox{L'Hospital}}{=}\underset{x\rightarrow1}{\lim}\frac{5x^{4}}{4x^{3}}=\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$
___

auch anders berechnen (falls das so überhaupt korrekt ist) ?

Gruß
chop

25.11.2009, 11:06

klarsoweit

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Auch hier kann man kürzen, nämlich den Faktor (x-1). Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2009, 13:12

ChopstickZ

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Ouh.. dass Polynomdivision aufgeht, wenn es NICHT glatt teilbar ist, wusste ich gar nicht.

Wieder etwas gelernt! (wirklich hilfreich!!)
Damit konnte ich den Rest nochmal erfolgreich überarbeiten (genaugenommen hatten wir L'Hospital auch noch gar nicht in der Vorlesung..). Freude

Freude

Eine letzte Frage zu dieser Aufgabe. Ist folgende Rechnung korrekt? (endlich mal ohne Bruch..)

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{4x^{2}-x}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{x^{2}\left(4-\frac{1}{x}\right)}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-x\sqrt{\left(4-\frac{1}{x}\right)}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(x\left(2-\sqrt{4-\frac{1}{x}}\right)\right)=0, \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-\frac{1}{x}}\rightarrow2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2-2=0 \end{eqnarray*}$ und damit weiter $\begin{eqnarray*} x\cdot0=0 \end{eqnarray*}$

25.11.2009, 13:23

TB

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also ich denke es geht gegen 0.25 = 1/4 (das sagt mir jeden falls das programm - und auch der graph)
aber ich bin fleissig am fehler suchen.

25.11.2009, 13:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von ChopstickZ
Ouh.. dass Polynomdivision aufgeht, wenn es NICHT glatt teilbar ist, wusste ich gar nicht.

Was verstehst du unter "NICHT glatt teilbar"? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von ChopstickZ
und damit weiter $\begin{eqnarray*} x\cdot0=0 \end{eqnarray*}$

Diese Folgerung ist falsch. Da müßte ja auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~x \cdot \frac 1 x = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

25.11.2009, 13:47

ChopstickZ

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Zitat:

Original von klarsoweit
Was verstehst du unter "NICHT glatt teilbar"? verwirrt

verwirrt

Schwer zu erklären.. (Laiensprache halt..) ;-) Erm, alle Polynome, die ich bisher dividiert habe, hatten die Eigenschaft, dass wenn man sie z.B. durch $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ teilt, am Ende ein Polynom mit genau einem Summand weniger und von genau einem Grad weniger rauskam. In diesem Fall erhöht sich die Zahl der Summanden sogar. Eine solche Anwendung von Polynomdivision war mir unbekannt.

Zitat:

Diese Folgerung ist falsch. Da müßte ja auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~x \cdot \frac 1 x = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Ich verstehe den Zusammen hang nicht.
Was ich meine: Der Klammerausdruck geht gegen 0:
$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}x\left(2-\sqrt{4-\frac{1}{x}}\right)=\infty\cdot0=0? \end{eqnarray*}$

Scheint ja ohnehin falsch zu sein, aber ich verstehe deinen Vergleich nicht.

Wie kann ich den Fehler denn beheben? Es ist ja offensichtlich mehr, als nur die Folgerung falsch. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von TB
aber ich bin fleissig am fehler suchen.

Ich auch. ;-)

25.11.2009, 14:01

Kühlkiste

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Zitat:

Original von ChopstickZ
$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{4x^{2}-x}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{x^{2}\left(4-\frac{1}{x}\right)}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-x\sqrt{\left(4-\frac{1}{x}\right)}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(x\left(2-\sqrt{4-\frac{1}{x}}\right)\right)=0, \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-\frac{1}{x}}\rightarrow2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2-2=0 \end{eqnarray*}$ und damit weiter $\begin{eqnarray*} x\cdot0=0 \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich solltest Du $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ immer erst dann hinschreiben, wenn klar ist, dass er auch existiert. Du wendest hier die Grenzwertsätze an auf Ausdrücke deren Grenzwerte gar nicht existieren, wodurch die Rechnung dann falsch wird. Klarsoweit hat Dir ja schon ein Beispiel dafür gegeben.

Hier ist es zweckmäßig zunächst mal den Term umzuformen und zwar entweder mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} 2x-\sqrt{4x^2-x}=2x-\sqrt{\left(2x-\frac 14\right)^2-\frac {1}{16}}=\ldots \end{eqnarray*}$

oder mit der 3. binom. Formel:

$\begin{eqnarray*} 2x-\sqrt{4x^2-x}=\frac{x}{2x+\sqrt{4x^2-x}}=\ldots. \end{eqnarray*}$

Dann bedarf es jeweils nur noch einer kleinen Umformung, um sich der Existenz des Grenzwertes zu vergewissern und diesen abzulesen.
Anschließend kann dann - quasi rückwärts - gefolgert werden, daß der Grenzwert des zu untersuchenden Terms existiert und den gefundenen Wert hat.

25.11.2009, 14:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von ChopstickZ
Schwer zu erklären.. (Laiensprache halt..) ;-) Erm, alle Polynome, die ich bisher dividiert habe, hatten die Eigenschaft, dass wenn man sie z.B. durch $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ teilt, am Ende ein Polynom mit genau einem Summand weniger und von genau einem Grad weniger rauskam. In diesem Fall erhöht sich die Zahl der Summanden sogar. Eine solche Anwendung von Polynomdivision war mir unbekannt.

Daß weniger Summanden rauskommen, war eher zufällig. Garantiert ist aber, daß die Polynomdivision aufgeht und der Grad um 1 verringert wird.

Zitat:

Original von ChopstickZ
$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(x\left(2-\sqrt{4-\frac{1}{x}}\right)\right)=0, \end{eqnarray*}$

Da liegt doch der hase im Pfeffer. Du hast da einen Ausdruck mit einem Faktor x (den habe ich auch) und dahiner steht ein Faktor, der gegen Null geht, (das habe ich auch). Und du folgerst ganz locker, das geht dann gegen x * 0 = 0. Das müßte ich bei mir auch folgern können, aber offensichtlich ist das Ergebnis falsch.

25.11.2009, 15:20

ChopstickZ

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Mit 3. bin Formel habe ich es hinbekommmen, aber mit quadratischer Ergänzung komme ich einfach nicht weiter. Ich krieg die Wurzel nicht aufgelöst.
Lösung mit 3. bin. Formel:
$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{4x^{2}-x}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{\left(2x-\sqrt{4x^{2}-x}\right)\left(2x+\sqrt{4x^{2}-x}\right)}{\left(2x+\sqrt{4x^{2}-x}\right)}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{\left(2x\right)^{2}-\sqrt{4x^{2}-x}^{2}}{2x+\sqrt{4x^{2}-x}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{4x^{2}-4x^{2}+x}{2x+\sqrt{4x^{2}-x}}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{x}{2x+\sqrt{4x^{2}-x}}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{x}{2x+\sqrt{x^{2}\left(4-\frac{1}{x}\right)}}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{x}{2x+x\cdot\sqrt{4-\frac{1}{x}}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{x}{x\left(2+\sqrt{4-\frac{1}{x}}\right)}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{1}{2+\sqrt{4-\frac{1}{x}}}\right)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Quadratische Ergänzung: Ich würde gerne wissen, wie man da weiter auflöst, schadet gewiss nicht alles einmal durchzukauen...

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{4x^{2}-x}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{\left(4x^{2}-x+\frac{1}{16}\right)-\frac{1}{16}}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(2x-\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}\right)=? \end{eqnarray*}$

denn man kann ja keine Potenz- oder Wurzelgesetze anwenden um eine Differenz, deren Minuent, Subtrahent Exponenten tragen, zusammenzufassen.
Es muss also anders gehen. Ich habe auch noch weiter gerechnet (als ich hier zeige) aber am Ende komme ich nur wieder auf den Wurzelausdruck vom Anfang... Und die 3. bin. Formel jetzt auszuschreiben bringt meines Erachtens auch nichts.

25.11.2009, 15:42

Kühlkiste

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Nochmal: Lass das Limes-Gelumpe weg!

Es gilt, wie Du selbst berechnet hast:

$\begin{eqnarray*} 2x-\sqrt{4x^{2}-x}=\frac{1}{2+\sqrt{4-\frac{1}{x}}} \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac 1x=0 \end{eqnarray*}$ folgt mit der Stetigkeit der Wurzelfunktion und den Grenzwertsätzen dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2+\sqrt{4-\frac{1}{x}}}=\frac 14. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt schließlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(2x-\sqrt{4x^{2}-x}\right)=\frac 14. \end{eqnarray*}$

25.11.2009, 16:49

ChopstickZ

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Okay, dann abgesehen von der Limes-Schreibweise:

Das hatte ich ja schon berechnet, mir ging es nur noch um den 2. Teil meines Beitrags nämlich die Berechnung des Wertes mit quadratischer Ergänzung (die du ja u.A. vorgeschlagen hattest). Da komme ich nicht weiter.

Über Denkanstöße wäre ich sehr dankbar! smile

smile

Gruß
chop

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